Autor des Abschnitts: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

Verschiedene Möglichkeiten, Kontraste zu definieren

Im vorangegangenen Abschnitt habe ich Ihnen eine Methode zur Umwandlung eines Faktors in eine Sammlung von Kontrasten gezeigt. In der Methode, die ich Ihnen gezeigt habe, geben wir eine Reihe von binären Variablen an, indem wir eine Tabelle wie diese definieren:

drug	druganxifree	drugjoyzepam
placebo	0	0
anxifree	1	0
joyzepam	0	1

Jede Zeile der Tabelle entspricht einer der Faktorstufen und jede Spalte einem der Kontraste. Diese Tabelle, die immer eine Zeile mehr als Spalten hat, hat einen besonderen Namen. Sie wird Kontrastmatrix genannt. Es gibt jedoch viele verschiedene Möglichkeiten, eine Kontrastmatrix zu spezifizieren. In diesem Abschnitt bespreche ich einige der Standard-Kontrastmatrizen, die Statistiker verwenden, und wie Sie diese in jamovi nutzen können. Wenn Sie vorhaben, später den Abschnitt über die unbalancierte ANOVA zu lesen (Abschnitt Faktorielle ANOVA 3: unbalancierte Designs), lohnt es sich, diesen Abschnitt sorgfältig zu lesen. Andernfalls können Sie ihn auch überfliegen, da die Wahl der Kontraste bei balancierten Versuchsplänen keine große Rolle spielt.

Behandlungskontraste (treatment contrasts)

Bei dieser Art von Kontrasten, die ich bereits oben beschrieben habe, fungiert eine Ebene des Faktors als eine Art „Basis“-Kategorie (d. h. placebo in unserem Beispiel), gegen welche die beiden anderen verglichen werden. Der Name für diese Art von Kontrasten ist Behandlungskontraste, auch bekannt als „Dummy-Kodierung“. Bei diesem Kontrast wird jede Stufe des Faktors mit einer Basisreferenzstufe verglichen, und die Basisreferenzstufe ist der Wert des Interzepts.

Der Name spiegelt die Tatsache wider, dass diese Kontraste ganz natürlich und sinnvoll sind, wenn eine der Kategorien in Ihrem Faktor etwas Besonderes ist, weil sie tatsächlich ein Ausgangsniveau darstellt. Das ist bei unserem clinicaltrial-Datensatz der Fall. Die Bedingung placebo entspricht der Situation, in der man den Leuten keine echten Medikamente gibt, und ist daher etwas Besonderes. Die beiden anderen Bedingungen sind in Bezug auf das Placebo definiert. In einem Fall ersetzt man das Placebo durch Anxifree, im anderen Fall durch Joyzepam.

Die oben gezeigte Tabelle ist eine Matrix von Behandlungskontrasten für einen Faktor mit 3 Stufen. Aber angenommen, ich möchte eine Matrix der Behandlungskontraste für einen Faktor mit 5 Stufen? Dann würden Sie diese wie folgt aufstellen:

Level   2 3 4 5
  1     0 0 0 0
  2     1 0 0 0
  3     0 1 0 0
  4     0 0 1 0
  5     0 0 0 1

In diesem Beispiel ist der erste Kontrast die Stufe 2 im Vergleich zur Stufe 1, der zweite Kontrast ist die Stufe 3 im Vergleich zur Stufe 1, und so weiter. Beachten Sie, dass standardmäßig immer die erste Stufe des Faktors als Basiskategorie behandelt wird (d. h. die Kategorie, die nur Nullen enthält und der kein expliziter Kontrast zugeordnet ist). In jamovi können Sie ändern, welche Kategorie die Basiskategorie des Faktors ist, indem Sie die Reihenfolge der Ebenen der Variablen im Fenster Data Variable ändern (doppelklicken Sie auf den Namen der Variablen in der Tabellenspalte, um die Ansicht Data Variable zu öffnen).

Helmert-Kontraste

Behandlungskontraste sind in vielen Situationen nützlich. Am sinnvollsten sind sie jedoch dann, wenn es tatsächlich eine Basiskategorie gibt und man alle anderen Gruppen im Verhältnis zu dieser bewerten möchte. In anderen Situationen gibt es jedoch keine solche Basiskategorie. Dann kann es sinnvoller sein, jede Gruppe mit dem Mittelwert der anderen Gruppen zu vergleichen. Hier treffen wir auf Helmert-Kontraste, die durch die Option Helmert im Auswahlfeld jamovi ANOVA - Contrasts erzeugt werden können. Die Idee hinter den Helmert-Kontrasten ist, jede Gruppe mit dem Mittelwert der „vorherigen“ Gruppen zu vergleichen. Das heißt, der erste Kontrast stellt den Unterschied zwischen Gruppe 2 und Gruppe 1 dar, der zweite Kontrast stellt den Unterschied zwischen Gruppe 3 und dem Mittelwert der Gruppen 1 und 2 dar und so weiter. Daraus ergibt sich eine Kontrastmatrix, die für einen Faktor mit fünf Stufen wie folgt aussieht:

1   -1   -1   -1   -1
2    1   -1   -1   -1
3    0    2   -1   -1
4    0    0    3   -1
5    0    0    0    4

Eine nützliche Eigenschaft von Helmert-Kontrasten ist, dass jeder Kontrast in der Summe Null ergibt (d. h. alle Spalten ergeben Null). Dies hat zur Folge, dass, wenn wir die ANOVA als Regression interpretieren, der Interzept-Term dem Gesamtmittelwert µ_.. entspricht, wenn wir Helmert-Kontraste verwenden. Vergleichen Sie dies mit Behandlungskontrasten, bei denen der Interzept-Term dem Gruppenmittelwert für die Basiskategorie entspricht. Diese Eigenschaft kann in manchen Situationen sehr nützlich sein. Sie ist nicht sehr wichtig, wenn Sie einen balancierten Versuchsplan haben (wovon wir bisher ausgegangen sind). Aber sie wird sich später als wichtig erweisen, wenn wir in Abschnitt Faktorielle ANOVA 3: unbalancierte Designs Versuchspläne betrachten, die unbalanciert sind. Der Hauptgrund, warum ich mir überhaupt die Mühe gemacht habe, diesen Abschnitt aufzunehmen, ist, dass Kontraste wichtig werden, wenn man die unbalancierte ANOVA verstehen will.

Kontraste, die sich zu Null aufsummieren

Die dritte Option, die ich kurz erwähnen möchte, sind die „Zu-Null-aufsummieren“-Kontraste, die in jamovi „einfache“ Kontraste genannt werden. Sie dienen dazu, paarweise Vergleiche zwischen Gruppen zu erstellen. Genauer gesagt, kodiert jeder Kontrast den Unterschied zwischen einer der Gruppen und einer Basiskategorie, die in diesem Fall der ersten Gruppe entspricht:

1   -1   -1   -1   -1
2    1    0    0    0
3    0    1    0    0
4    0    0    1    0
5    0    0    0    1

Ähnlich wie bei den Helmert-Kontrasten sieht man, dass jede Spalte Null als Summe ergibt, was bedeutet, dass der Interzept-Term dem Gesamtmittelwert entspricht, wenn die ANOVA als Regressionsmodell behandelt wird. Bei der Interpretation dieser Kontraste ist zu beachten, dass es sich bei jedem dieser Kontraste um einen paarweisen Vergleich zwischen Gruppe 1 und einer der anderen vier Gruppen handelt. Genauer gesagt, Kontrast 1 entspricht einem Vergleich „Gruppe 2 minus Gruppe 1“, Kontrast 2 entspricht einem Vergleich „Gruppe 3 minus Gruppe 1“ und so weiter.[1]

Optionale Kontraste in jamovi

jamovi verfügt auch über eine Reihe von Optionen, wie verschiedene Arten von Kontrasten in einer ANOVA erzeugt werden können. Diese sind unter der Option Contrasts im Hauptfenster der ANOVA-Analyseoptionen zu finden, wo die folgenden Kontrasttypen aufgelistet werden:

Kontrasttyp	Was vergleicht der Kontrast?
Abweichung	Vergleicht den Mittelwert jeder Ebene (außer einer Referenzkategorie) mit dem Mittelwert aller Ebenen (Gesamtmittelwert).
Einfach	Wie bei den Behandlungskontrasten wird auch beim einfachen Kontrast der Mittelwert jeder Stufe mit dem Mittelwert einer bestimmten Stufe verglichen. Diese Art von Kontrast ist nützlich, wenn es eine Kontrollgruppe gibt. Standardmäßig ist die erste Kategorie die Referenz. Bei einem einfachen Kontrast ist das Interzept der Gesamtmittelwert.
Differenz	Vergleicht den Mittelwert jeder Stufe (außer der ersten) mit dem Mittelwert der vorherigen Stufen (manchmal auch umgekehrte Helmert-Kontraste genannt).
Helmert	Vergleicht den Mittelwert jeder Stufe des Faktors (außer der letzten) mit dem Mittelwert der nachfolgenden Stufen.
Wiederholt	Vergleicht den Mittelwert jeder Stufe (außer der letzten) mit dem Mittelwert der nachfolgenden Stufe.
Polynomial	Vergleicht den linearen Effekt, den quadratischen Effekt, usw. Der erste Freiheitsgrad enthält den linearen Effekt über alle Kategorien, der zweite Freiheitsgrad den quadratischen Effekt, usw. Diese Kontraste werden häufig verwendet, um polynomiale Trends zu schätzen.

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[1]

Was ist der Unterschied zwischen Behandlungskontrasten und einfachen Kontrasten, werden Sie sich fragen? Nun, als einfaches Beispiel nehmen wir einen geschlechtsspezifischen Haupteffekt mit m = 0 und f = 1. Der Koeffizient, der dem Behandlungskontrast entspricht, misst den Unterschied im Mittelwert zwischen Frauen und Männern, und das Interzept wäre der Mittelwert der Männer. Bei einem einfachen Kontrast, d. h. m = -1 und f = 1, ist das Interzept jedoch der Gesamtmittelwert, und der Haupteffekt ist die Differenz der einzelnen Gruppenmittelwerte zum Interzept.