Autor des Abschnitts: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

Der exakte Test nach Fisher

Was sollten Sie tun, wenn Ihre Zellzahlen gering sind, Sie aber dennoch die Nullhypothese testen möchten, dass die beiden Variablen voneinander unabhängig sind? Eine Antwort wäre „mehr Daten sammeln“, aber das ist viel zu oberflächlich. Es gibt viele Situationen, in denen dies entweder undurchführbar oder unethisch wäre. Wenn dem so ist, haben Statistiker eine Art moralische Verpflichtung, den Wissenschaftlern bessere Tests zur Verfügung zu stellen. In diesem Fall hat Fisher (1922a) freundlicherweise die richtige Antwort auf diese Frage gegeben. Zur Veranschaulichung des Grundgedankens nehmen wir an, dass wir Daten aus einem Feldexperiment analysieren, in dem der emotionale Status von Menschen untersucht wird, die der Hexerei beschuldigt werden und von denen einige gerade auf dem Scheiterhaufen verbrannt werden.[1] Unglücklicherweise für den Wissenschaftler (aber eher zum Glück für die allgemeine Bevölkerung) ist es ziemlich schwierig, Menschen zu finden, die gerade verbrannt werden, so dass die Zellzahlen in einigen Fällen furchtbar klein sind. Eine Kreuztabelle des salem-Datensatzes veranschaulicht diesen Punkt:

           on.fire
happy    FALSE TRUE
  FALSE      3    3
  TRUE      10    0

Wenn man sich diese Daten ansieht, kann man sich der Vermutung kaum entziehen, dass Menschen, die nicht brennen, eher glücklich sind als Menschen, die brennen. Mit dem χ²-Test ist dies jedoch aufgrund der geringen Stichprobengröße sehr schwer zu überprüfen. Als jemand, der nicht angezündet werden möchte, würde ich wirklich gerne eine bessere Antwort als diese bekommen. Hier kommt der exakte Test nach Fisher (Fisher, 1922a) sehr gelegen.

Der exakte Test nach Fisher funktioniert etwas anders als der χ²-Test (oder eigentlich jeder andere Hypothesentest, über den ich in diesem Buch spreche). Er hat keine Teststatistik, sondern berechnet den p-Wert „direkt“. Ich werde die Grundlagen der Funktionsweise des Tests für eine 2 × 2 Kreuztabelle erklären. Wie zuvor, werden wir einige Notationen verwenden:

	Glücklich	Traurig	Insgesamt
In Brand gesetzt	O₁₁	O₁₂	R₁
Nicht in Brand gesetzt	O₂₁	O₂₂	R₂
Insgesamt	C₁	C₂	N

Um den Test zu konstruieren, behandelt Fisher sowohl die Zeilen- als auch die Spaltensummen (R₁, R₂, C₁ und C₂) als bekannte, feste Größen und berechnet dann die Wahrscheinlichkeit, dass wir die beobachteten Häufigkeiten, die wir angesichts dieser Summen hätten erhalten sollen (O₁₁, O₁₂, O₂₁ und O₂₂). In der Notation, die wir in Kapitel Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung entwickelt haben, wird dies geschrieben:

P(O₁₁, O₁₂, O₂₁, O₂₂ | R₁, R₂, C₁, C₂)

und wie Sie sich vielleicht vorstellen können, ist es eine etwas knifflige Aufgabe, herauszufinden, wie hoch diese Wahrscheinlichkeit ist. Es stellt sich jedoch heraus, dass diese Wahrscheinlichkeit durch eine Verteilung beschrieben wird, die als hypergeometrische Verteilung bekannt ist. Um unseren p-Wert zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung dieser bestimmten Tabelle oder einer Tabelle, die „extremer“ ist, berechnen.[2] In den 1920er Jahren war die Berechnung dieser Summe selbst in den einfachsten Situationen entmutigend, aber heutzutage ist es ziemlich einfach, solange die Tabellen nicht zu groß sind und der Stichprobenumfang nicht zu groß ist. Das konzeptionell schwierige Problem besteht darin, herauszufinden, was es bedeutet, wenn man sagt, dass eine Kreuztabelle „extremer“ ist als eine andere. Die einfachste Lösung ist, zu sagen, dass die Tabelle mit der geringsten Wahrscheinlichkeit die extremste ist. Daraus ergibt sich dann der p-Wert.

Sie können diesen Test in jamovi anfordern, indem sie die entsprechende Checkbox in den Optionen unter Statistics innerhalb der Analyse Contingency Tables angeben. Wenn Sie dies mit dem Datensatz salem tun, wird die Statistik Fisher's exact test in den Ergebnissen angezeigt. Was uns hauptsächlich interessiert ist der p-Wert, der in diesem Fall klein genug ist (p = 0,036), um die Nullhypothese abzulehnen, dass Menschen, in Brand gesetzt wurden, genauso glücklich sind wie Menschen, die nicht in Brand gesetzt wurden (siehe Abb. 79).