Autor des Abschnitts: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

Mathematische Funktionen und Operationen

Im vorigen Abschnitt habe ich die Ideen hinter den Variablentransformationen erörtert und gezeigt, dass viele der Transformationen, die Sie auf Ihre Daten anwenden möchten, auf recht einfachen mathematischen Funktionen und Operationen beruhen. In diesem Abschnitt möchte ich auf diese Diskussion zurückkommen und einige andere mathematische Funktionen und arithmetische Operationen erwähnen, die für viele Datenanalysen sehr nützlich sein können. Tab. 5 gibt einen kurzen Überblick über die verschiedenen mathematischen Funktionen, über die ich hier oder später sprechen möchte.[1] Natürlich reicht dies nicht einmal annähernd aus, um die Bandbreite der verfügbaren Möglichkeiten zu katalogisieren, aber es deckt eine Reihe von Funktionen ab, die regelmäßig in der Datenanalyse verwendet werden und die in jamovi verfügbar sind.

Tab. 5 Einige der in jamovi verfügbaren mathematischen Funktionen
	Funktion	Beispiel-Eingabe	Ausgabe
Quadratwurzel	`SQRT(x)`	`SQRT(25)`	5
Absoluter Wert	`ABS(x)`	`ABS(-23)`	23
Logarithmus (zur Basis 10)	`LOG10(x)`	`LOG10(1000)`	3
Logarithmus (zur Basis e)	`LN(x)`	`LN(1000)`	6.908
Potenzierung	`EXP(x)`	`EXP(6.908)`	1000.245
Box-Cox-Transformation	`BOXCOX(x, lamda)`	`BOXCOX(6.908, 3)`	109.551
Runden zur nächsten Ganzzahl	`ROUND()`	`ROUND(1.32)`	1
Abrunden	`FLOOR()`	`FLOOR(1.32)`	1
Aufrunden	`CEILING()`	`CEILING(1.32)`	2

Logarithmen und Exponentialfunktionen

Wie ich bereits erwähnt habe, verfügt jamovi über eine ganze Reihe nützlicher mathematischer Funktionen, und es hätte wirklich keinen Sinn, sie alle zu beschreiben oder gar aufzulisten. Zum größten Teil habe ich mich auf die Funktionen konzentriert, die für dieses Buch notwendig sind. Ich möchte jedoch eine Ausnahme für Logarithmen und Exponentialfunktionen machen. Obwohl sie in diesem Buch nirgendwo anders benötigt werden, erscheinen sie überall in der Statistik. Und nicht nur das, es gibt viele Situationen, in denen es praktisch ist, den Logarithmus einer Variablen zu analysieren (d. h. eine „Logarithmus-Transformation“ der Variablen vorzunehmen). Ich vermute, dass viele (vielleicht die meisten) Leser dieses Buches schon einmal mit Logarithmen und Exponentialfunktionen in Berührung gekommen sind. Aber aus Erfahrung weiß ich, dass es einen beträchtlichen Anteil von Studenten gibt, die einen Statistik-Kurs in den Sozialwissenschaften belegen und seit dem Abitur nichts mehr mit Logarithmen zu tun hatten und eine kleine Auffrischung schätzen.

Um Logarithmen und Exponentialfunktionen zu verstehen, ist es am einfachsten, sie selbst zu berechnen und zu sehen, wie sie mit anderen einfachen Berechnungen zusammenhängen. Es gibt insbesondere drei jamovi-Funktionen, über die ich sprechen möchte, nämlich LN(), LOG10() und EXP(). Betrachten wir zunächst LOG10(), die als „Logarithmus zur Basis 10“ bekannt ist. Der Trick, um den Logarithmus zu verstehen, besteht darin, dass er im Grunde das „Gegenteil“ der Potenzierung ist. Insbesondere ist der Logarithmus zur Basis 10 eng mit den Potenzen von 10 verbunden. Stellen wir also zunächst fest, dass 10-kubisch (10³) 1000 ist. Mathematisch würden wir das so schreiben:

10³ = 1000

Der Trick, um einen Logarithmus zu verstehen, besteht darin, zu erkennen, dass die Aussage „10 hoch 3 ist gleich 1000“ gleichbedeutend ist mit der Aussage „der Logarithmus (zur Basis 10) von 1000 ist gleich 3“. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

log₁₀(1000) = 3

Da sich die Funktion LOG10() auf die Potenzen von 10 bezieht, könnte man erwarten, dass es andere Logarithmen (mit anderen Basen als 10) gibt, die sich auch auf andere Potenzen beziehen. Und natürlich stimmt auch, dass die Zahl 10 mathematisch gesehen nichts Besonderes ist. Sie und ich finden sie nützlich, weil Dezimalzahlen um die Zahl 10 herum aufgebaut sind, aber die große böse Welt der Mathematik macht sich über unsere Dezimalzahlen lustig. Leider ist es dem Universum egal, wie wir Zahlen aufschreiben. Die Folge dieser kosmischen Gleichgültigkeit ist, dass es nichts Besonderes ist, Logarithmen zur Basis 10 zu berechnen. Sie könnten Ihre Logarithmen zum Beispiel auch zur Basis 2 berechnen. Eine dritte Art von Logarithmus, die in der Statistik viel häufiger vorkommt als zur Basis 10 oder zur Basis 2, wird natürlicher Logarithmus genannt und entspricht dem Logarithmus zur Basis e. Da Sie vielleicht eines Tages darauf stoßen werden, erkläre ich Ihnen besser, was e ist. Die Zahl e, auch bekannt als Eulersche Zahl, ist eine dieser lästigen „irrationalen“ Zahlen, deren Dezimalentwicklung unendlich lang ist, und gilt als eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik. Die ersten paar Ziffern von e sind:

e = 2.718282

Es gibt eine Reihe von Situationen in der Statistik, in denen wir Potenzen von e berechnen müssen, obwohl keine davon in diesem Buch vorkommt. Die Erhöhung von e auf die Potenz x wird als Exponentialwert von x bezeichnet, und so sieht man e^x häufig als exp(x) geschrieben. Und so ist es keine Überraschung, dass jamovi eine Funktion zur Berechnung von Exponentialwerten hat, die EXP() heißt. Da die Zahl e in der Statistik so häufig vorkommt, taucht auch der natürliche Logarithmus (d.h. der Logarithmus zur Basis e) immer wieder auf. Mathematiker schreiben ihn oft als log_e(x) oder ln(x). In der Tat funktioniert jamovi auf die gleiche Weise: Die Funktion LN() entspricht dem natürlichen Logarithmus.

Und damit, denke ich, haben wir genug Logarithmen und Exponentialfunktionen für dieses Buch gehabt!