Autor des Abschnitts: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

Was ist der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und Statistik?

Bevor wir uns mit der Wahrscheinlichkeitstheorie befassen, ist es hilfreich, einen Moment über die Beziehung zwischen Wahrscheinlichkeit und Statistik nachzudenken. Die beiden Disziplinen sind eng miteinander verwandt, aber sie sind nicht identisch. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist „die Lehre vom Zufallsgeschehen“. Es handelt sich um einen Zweig der Mathematik, der angibt, wie oft verschiedene Arten von Ereignissen eintreten werden. Alle diese Fragen lassen sich zum Beispiel mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie beantworten:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze 10 Mal hintereinander Kopf zeigt?
Wenn ich einen sechsseitigen Würfel zweimal werfe, wie wahrscheinlich ist es, dass ich zwei Sechsen werfe?
Wie wahrscheinlich ist es, dass fünf Karten, die aus einem perfekt gemischten Stapel gezogen werden, alle die Kartenfarbe Herz haben?
Wie stehen die Chancen, dass ich im Lotto gewinne?

Beachten Sie, dass alle diese Fragen etwas gemeinsam haben. In jedem Fall ist die „Wahrheit der Welt“ bekannt und meine Frage bezieht sich auf die „welche Art von Ereignissen“ eintreten könnten. In der ersten Frage weiß ich, dass wenn die Münze echt ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Münzwurf Kopf ergibt, 50 % ist. Bei der zweiten Frage weiß ich, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, 1 zu 6 ist. Bei der dritten Frage weiß ich, dass das Kartenspiel richtig gemischt wurde. Und bei der vierten Frage weiß ich, dass die Lotterie bestimmten Regeln folgt. Sie verstehen die Idee. Der entscheidende Punkt ist, dass probabilistische Fragen mit einem bekannten Modell der Welt beginnen, und wir verwenden dieses Modell, um einige Berechnungen durchzuführen. Das zugrunde liegende Modell kann recht einfach sein. Im Beispiel des Münz-Werfens können wir das Modell zum Beispiel so aufschreiben:

P(Kopf) = 0,5

was man als „die Wahrscheinlichkeit von Kopf ist 0,5“ lesen kann. Wie wir später sehen werden, sind Wahrscheinlichkeiten genauso wie Prozentsätze Zahlen, die zwischen 0 und 100 % liegen, nur Zahlen, die zwischen 0 und 1 liegen. Wenn ich dieses Wahrscheinlichkeitsmodell zur Beantwortung der ersten Frage verwende, weiß ich eigentlich nicht genau, was passieren wird. Vielleicht erhalte ich 10 Köpfe, wie in der Frage angegeben. Vielleicht erhalte ich aber auch drei Köpfe. Das ist der springende Punkt. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Modell bekannt, die Daten sind es aber nicht.

Das ist also die Wahrscheinlichkeit. Was ist mit Statistik? Statistische Fragen funktionieren genau andersherum. In der Statistik kennen wir die Wahrheit über die Welt nicht. Alles, was wir haben, sind die Daten, und aus diesen Daten wollen wir die Wahrheit über die Welt erfahren. Statistische Fragen sehen in der Regel eher wie folgt aus:

Wenn ein Freund 10 Mal eine Münze wirft und 10 Mal Kopf erhält, spielt er mir dann einen Streich?
Wie wahrscheinlich ist es, dass der Kartenstapel gemischt wurde, wenn die fünf obersten Karten alle die Farbe Herz haben?
Wenn der Ehepartner des Lotteriekommissars in der Lotterie gewinnt, wie wahrscheinlich ist es dann, dass die Lotterie manipuliert wurde?

Dieses Mal haben wir nur die Daten. Was ich weiß ist, dass ich gesehen habe, wie mein Freund die Münze 10 Mal geworfen hat und jedes Mal Kopf herauskam. Und was ich ableiten möchte ist, ob ich daraus schließen sollte, dass das, was ich gerade gesehen habe, tatsächlich eine „normale“ Münze war, die 10 Mal hintereinander geworfen wurde, oder ob ich vermuten sollte, dass mein Freund mir einen Streich spielt. Die Daten, die ich habe, sehen wie folgt aus:

H H H H H H H H H H H

und ich versuche herauszufinden, auf welches „Weltmodell“ ich mein Vertrauen setzen sollte. Wenn die Münze „normal“ ist, dann ist das Modell, das ich annehmen sollte, eines, das besagt, dass die Wahrscheinlichkeit von Kopf 0,5 ist, also P(Kopf) = 0,5. Wenn die Münze nicht „normal“ ist, dann sollte ich zu dem Schluss kommen, dass die Wahrscheinlichkeit von Kopf nicht 0,5 ist, was wir als P(Kopf) ≠ 0,5 schreiben würden. Mit anderen Worten: Das Problem der statistischen Schlussfolgerung besteht darin, herauszufinden, welches dieser Wahrscheinlichkeitsmodelle richtig ist. Es ist klar, dass die statistische Frage nicht dasselbe ist wie die Wahrscheinlichkeitsfrage, aber sie sind eng miteinander verknüpft. Aus diesem Grund beginnt eine gute Einführung in die statistische Theorie mit einer Diskussion darüber, was Wahrscheinlichkeit ist und wie sie funktioniert.