Section author: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

ஒரு வழி ANOVA இன் அனுமானங்கள்

எந்தவொரு புள்ளிவிவர சோதனையையும் போலவே, மாறுபாட்டின் பகுப்பாய்வு தரவைப் பற்றிய சில அனுமானங்களை நம்பியுள்ளது, குறிப்பாக எச்சங்கள். நீங்கள் அறிந்திருக்க வேண்டிய மூன்று முக்கிய அனுமானங்கள் உள்ளன: *இயல்பான தன்மை *, *மாறுபாட்டின் ஒருமைப்பாடு *மற்றும் *சுதந்திரம் *.

நீங்கள் மீண்டும் துணைப்பிரிவுக்கு நினைவில் வைத்திருந்தால்: குறிப்பு: `தரவுக்கான மாதிரி மற்றும் * f * <பொருள்_ஓஎஃப்_எஃப்> இன் பொருள் நீங்கள் முழு விசயத்தையும் படிக்கவில்லை என்றாலும், குறைந்தபட்சம் நீங்கள் குறைந்தது சறுக்குவதாக நான் நம்புகிறேன், புள்ளிவிவர மாதிரிகள் அடித்தளமாக விவரித்தேன் இந்த வழியில் ANOVA:

H₀: Y_ik = µ + ϵ_ik

H₁: Y_ik = µ_k + ϵ_ik

இந்த சமன்பாடுகளில் அனைத்தும் அனைத்து குழுக்களுக்கும் ஒரே மாதிரியான ஒரு பெரிய மக்கள்தொகையைக் குறிக்கிறது, மற்றும் µ : துணை: k என்பது *k *-th குழுவிற்கு மக்கள் தொகை சராசரி. இந்த கட்டத்தில் எங்கள் தரவு ஒற்றை பெரிய சராசரி (பூச்ய கருதுகோள்) அல்லது வெவ்வேறு குழு-குறிப்பிட்ட வழிமுறைகளின் (மாற்று கருதுகோள்) அடிப்படையில் சிறப்பாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதில் நாங்கள் பெரும்பாலும் ஆர்வமாக உள்ளோம். இது உண்மையில் முக்கியமான ஆராய்ச்சி கேள்வி என்பதால் இது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது! எவ்வாறாயினும், எங்கள் சோதனை நடைமுறைகள் அனைத்தும் மறைமுகமாக, எச்சங்களைப் பற்றிய ஒரு குறிப்பிட்ட அனுமானத்தை நம்பியுள்ளன, ϵ : துணை: ik, அதாவது அது

ϵ_ik ~ Normal(0, σ²)

இந்த பிட் இல்லாமல் கணிதங்கள் எதுவும் சரியாக வேலை செய்யாது. அல்லது, துல்லியமாகச் சொல்வதானால், நீங்கள் இன்னும் எல்லா கணக்கீடுகளையும் செய்ய முடியும், நீங்கள் ஒரு *f *-statistic உடன் முடிவடையும், ஆனால் இந்த *f *-statistist உண்மையில் நீங்கள் அளவிடுவதாக நீங்கள் நினைப்பதை அளவிடுகிறது, எனவே ஏதேனும் * f * சோதனையின் அடிப்படையில் நீங்கள் வரையக்கூடிய முடிவுகள் தவறாக இருக்கலாம்.

எனவே, எச்சங்களைப் பற்றிய அனுமானம் துல்லியமானதா என்பதை நாங்கள் எவ்வாறு சரிபார்க்கிறோம்? சரி, நான் மேலே சுட்டிக்காட்டியபடி, இந்த ஒரு அறிக்கையில் மூன்று தனித்துவமான உரிமைகோரல்கள் புதைக்கப்பட்டுள்ளன, அவற்றை நாங்கள் தனித்தனியாக கருதுவோம்.

• ** மாறுபாட்டின் ஒருமைப்பாடு **. ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் சொந்த மதிப்பைக் கொண்டிருக்க அனுமதிப்பதை விட (அதாவது, σ : துணை: k) அனுமதிப்பதை விட, மக்கள்தொகை தர விலகலுக்கான ஒரு மதிப்பை மட்டுமே (அதாவது, σ) பெற்றுள்ளோம் என்பதைக் கவனியுங்கள். இது மாறுபாட்டின் ஒருமைப்பாடு (சில நேரங்களில் ஓரினச்சேர்க்கை என அழைக்கப்படுகிறது) அனுமானமாக குறிப்பிடப்படுகிறது. அனைத்து குழுக்களுக்கும் மக்கள்தொகை நிலையான விலகல் ஒன்றுதான் என்று ANOVA கருதுகிறது. இதைப் பற்றி நாங்கள் துணைப்பிரிவில் விரிவாகப் பேசுவோம்: குறிப்பு: மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாட்டை சரிபார்க்கிறது <ஒத்திசைவு_எஃப்_வாரியன்ச்_ஆனோவா>.

• ** இயல்புநிலை **. எச்சங்கள் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுவதாக கருதப்படுகிறது. துணைப்பிரிவில் நாம் பார்த்தது போல: டாக்: ../ ch11/ch11_ttest_08, QQ- அடுக்குகளைப் பார்த்து (அல்லது சாபிரோ-வில்க் சோதனையை இயக்குவதன் மூலம்) இதை மதிப்பிடலாம். நான் இதைப் பற்றி மேலும் ANOVA சூழலில் துணைப்பிரிவில் பேசுவேன்: குறிப்பு: இயல்பான அனுமானத்தை சரிபார்க்கிறது <இயல்பான_அனோவா>.

• ** விடுதலை **. சுதந்திர அனுமானம் கொஞ்சம் தந்திரமானது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், ஒரு எச்சத்தை அறிந்துகொள்வது வேறு எந்த எஞ்சியதையும் பற்றி உங்களுக்கு எதுவும் சொல்லவில்லை. Ε : sub: ik மதிப்புகள் மற்றவற்றில் எந்தவொரு“ அக்கறையும் ”அல்லது“ உறவு ”இல்லாமல் உருவாக்கப்பட்டதாக கருதப்படுகிறது. இதைச் சோதிக்க வெளிப்படையான அல்லது எளிமையான வழி இல்லை, ஆனால் இதை தெளிவாக மீறும் சில சூழ்நிலைகள் உள்ளன. உதாரணமாக, உங்களிடம் மீண்டும் மீண்டும்-அளவீட்டு வடிவமைப்பு இருந்தால், உங்கள் ஆய்வில் பங்கேற்பாளரும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிபந்தனைகளில் தோன்றும், பின்னர் விடுதலை இல்லை. சில அவதானிப்புகளுக்கு இடையே ஒரு சிறப்பு உறவு உள்ளது, அதாவது ஒரே நபருடன் ஒத்திருக்கும்! அது நிகழும்போது, நீங்கள் மீண்டும் மீண்டும் நடவடிக்கைகள் ANOVA போன்றவற்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும் (பிரிவு: DOC: CH13_ANOVA_07) ஐப் பார்க்கவும்.

மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாட்டை சரிபார்க்கிறது

ஒரு பூனை தோலுக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகள் உள்ளன, சொல்வது போல், மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாட்டை சோதிக்க ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகள் உள்ளன (சில காரணங்களால் யாரும் அதிலிருந்து சொல்லவில்லை). இலக்கியத்தில் நான் கண்டதற்கு மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் சோதனை ** லெவென் சோதனை ** (: குறிப்பு: லெவென், 1960 <லெவென்_1960>), மற்றும் நெருங்கிய தொடர்புடைய ** பிரவுன்-ஃபோர்தே சோதனை ** ( : குறிப்பு: பிரவுன் & ஃபோர்சைத், 1974 <பிரவுன்_1974>).

நீங்கள் நிலையான லெவீன் சோதனை அல்லது பிரவுன்-ஃபார்ச் சைட் சோதனை செய்கிறீர்களா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், சோதனை புள்ளிவிவரம், சில நேரங்களில் *f *ஐக் குறிக்கப்படுகிறது, ஆனால் சில நேரங்களில் *w *என்றும் எழுதப்படுகிறது, அதேபோல் *f * வழக்கமான ANOVA க்கான உறுதியானது கணக்கிடப்படுகிறது, இது சட் : துணை: ik ஐ விட : துணை:` ik` ஐப் பயன்படுத்துகிறது. இதைக் கருத்தில் கொண்டு, சாமோவியில் சோதனையை எவ்வாறு இயக்குவது என்பதைப் பார்க்கலாம்.

லெவென் சோதனை அதிர்ச்சியூட்டும் எளிமையானது. எங்களிடம் எங்கள் விளைவு மாறி ஒய் : துணை: ik உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். நாங்கள் செய்வது ஒரு புதிய மாறியை வரையறுப்பதுதான், நான் சட் : sub: ik என்று அழைக்கிறேன், இது குழுவிலிருந்து முழுமையான விலகலுடன் தொடர்புடையது

Z_ik = Y_ik - Ȳ_k

சரி, இது எங்களுக்கு என்ன நல்லது? சரி, சட் : sub: ik உண்மையில் என்ன, நாம் என்ன சோதிக்க முயற்சிக்கிறோம் என்பதைப் பற்றி சிந்திக்க சிறிது நேரம் ஒதுக்குவோம். சட் : துணை: ik இன் மதிப்பு என்பது *k *-th குழுவில் உள்ள *i *-th அவதானிப்பு அதன் குழுவிலிருந்து எவ்வாறு மாறுபடுகிறது என்பதற்கான ஒரு நடவடிக்கையாகும். எங்கள் சுழிய கருதுகோள் என்னவென்றால், எல்லா குழுக்களும் ஒரே மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, குழுவிலிருந்து அதே ஒட்டுமொத்த விலகல்கள் வழிமுறையாகும்! எனவே ஒரு லெவென் சோதனையில் சுழிய கருதுகோள் என்னவென்றால், சட் இன் மக்கள் தொகை வழிமுறைகள் அனைத்து குழுக்களுக்கும் ஒரே மாதிரியானவை. அ்ம். எனவே இப்போது நமக்குத் தேவையானது அனைத்து குழு அர்த்தங்களும் ஒரே மாதிரியானவை என்ற சுழிய கருதுகோளின் புள்ளிவிவர சோதனை. இதற்கு முன்பு அதை எங்கே பார்த்தோம்? ஓ சரி, அதுதான் ANOVA, எனவே லெவென் சோதனை செய்வது புதிய மாறி சட் : sub: ik இல் ஒரு ANOVA ஐ இயக்குகிறது.

What பற்றி the Brown-Forsythe test? Does that do anything particularly different? Nope. லெவென் சோதனையிலிருந்து ஒரே மாற்றம் என்னவென்றால், இது மாற்றப்பட்ட மாறியை *z *ஐ சற்று வித்தியாசமான வழியில் உருவாக்குகிறது, குழுவிலிருந்து விலகல்களைப் பயன்படுத்தி *குழுவிலிருந்து விலகல்களைப் பயன்படுத்தி *என்றால் *என்றால் *. அதாவது, பிரவுன்-ஃபோர்சித் சோதனைக்கு

Z_ik = Y_ik - median_k(Y)

எங்கே சராசரி : துணை: k (y) என்பது குழுவின் சராசரி *k *.

சாமோவியில் லெவென்-சோதனையை இயக்குகிறது

சரி, அப்படியானால் லெவென் சோதனையை எவ்வாறு இயக்குவது? எளிமையானது - `` ANOVA` `` `` அனுமான காசோலைகள்` விருப்பத்தின் கீழ், `` ஒரேவிதமான சோதனைகள்` சரிபார்ப்பில் சொடுக்கு செய்யவும். வெளியீட்டைப் பார்த்தால், இதில் காட்டப்பட்டுள்ளது: numref: fig-anova4, சோதனை சுட்டிக்காட்டப்படாதது என்பதைக் காண்கிறோம் (*f*{2,15} = 1.45,*p*= 0.266), எனவே அது தெரிகிறது மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாடு நன்றாக உள்ளது. இருப்பினும், தோற்றம் ஏமாற்றும்! உங்கள் மாதிரி அளவு மிகப் பெரியதாக இருந்தால், லெவென் சோதனை ஒரு குறிப்பிடத்தக்க விளைவைக் காட்டக்கூடும் (அதாவது, * ப * <0.05) மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாடு ANOVA இன் வலுவான தன்மையைத் தொந்தரவு செய்யும் அளவிற்கு மீறப்படாவிட்டாலும் கூட. மேலே உள்ள மேற்கோளில் சார்ச் பாக்ச் உருவாக்கிய புள்ளி இதுதான். இதேபோல், உங்கள் மாதிரி அளவு மிகவும் சிறியதாக இருந்தால், மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாடு நிறைவு அடையாமல் போகலாம், ஆனால் ஒரு லெவீன் சோதனை குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லை (அதாவது * ப *> 0.05). இதன் பொருள் என்னவென்றால், நிறைவு செய்யப்படும் அனுமானத்தின் எந்தவொரு புள்ளிவிவர சோதனையுடனும், பகுப்பாய்வில் ஒவ்வொரு குழு / வகைக்கான வழிமுறைகளைச் சுற்றி நீங்கள் எப்போதும் நிலையான விலகலைத் திட்டமிட வேண்டும்… அவை மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கிறதா என்று பார்க்க (அதாவது மாறுபாட்டின் ஒருமைப்பாடு) அல்லது இல்லை.

Fig. 134 `` லெவென் டெச்ட்`` சாமோவியில் `` ஒரு வழி அனோவா` க்கான வெளியீடு

மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாட்டை நீக்குதல்

எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாடு மிகவும் பாதுகாப்பான ஒன்றாக மாறியது: லெவென் சோதனை குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லை (நிலையான விலகல்களின் சதித்திட்டத்தையும் நாம் பார்க்க வேண்டும் என்றாலும்), எனவே நாம் கவலைப்பட தேவையில்லை . இருப்பினும், நிச வாழ்க்கையில் நாம் எப்போதும் அதிர்ச்டசாலி அல்ல. மாறுபாடு அனுமானத்தின் ஒருமைப்பாடு மீறப்படும்போது எங்கள் ANOVA ஐ எவ்வாறு சேமிப்பது? T *-tests பற்றிய எங்கள் விவாதத்திலிருந்து நீங்கள் நினைவு கூர்ந்தால், இந்த சிக்கலை நாங்கள் முன்பே பார்த்தோம். மாணவர் *t *-test சம மாறுபாடுகளைக் கருதுகிறது, எனவே தீர்வு வெல்ச் *t *-test ஐப் பயன்படுத்துவதாகும், இது இல்லை. உண்மையில், குறிப்பு: `வெல்ச் (1951) <வெல்ச்_1951>` ANOVA க்கும் இந்த சிக்கலை எவ்வாறு தீர்க்க முடியும் என்பதையும் காட்டியது (* வெல்ச் ஒரு வழி சோதனை **). இது `` ஒரு வழி ANOVA`` பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி சாமோவியில் செயல்படுத்தப்படுகிறது. இது ஒரு வழி ANOVA க்கான ஒரு குறிப்பிட்ட பகுப்பாய்வு அணுகுமுறையாகும், மேலும் எங்கள் எடுத்துக்காட்டுக்கு வெல்ச் ஒரு வழி ANOVA ஐ இயக்க, நாங்கள் முன்பு பகுப்பாய்வை மீண்டும் இயக்குவோம், ஆனால் இந்த முறை சாமோவியைப் பயன்படுத்துங்கள் `` anova`` `` `` `` `` `` `` `` `` `` `` ` ANOVA`` பகுப்பாய்வு கட்டளையை ஒரு வழி, மற்றும் `` சமமான (வெல்ச்சின்) `` என்ற விருப்பத்தை சரிபார்க்கவும் `` (காண்க: NumRef: Fig-anova4a).

Fig. 135 சாமோவியில் ஒரு வழி ANOVA பகுப்பாய்வின் ஒரு பகுதியாக வெல்ச்சின் சோதனை

இங்கே என்ன நடக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, இந்த எண்களை முன்னர் பெறப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடுவோம்: DOC: CH13_ANOVA_03, அதாவது: *f *(2,15) = 18.611, *ப *= 0.00009. இதில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி: NUMREF: Fig-anova4a, இந்த மதிப்புகள்` ஒரு வழி ANOVA` அட்டவணையிலும் காட்டப்படுகின்றன (` ஃபிசர்ச்` உடன் தொடங்கும் வரிசையில்) விருப்பம்` சமமாக (ஃபிசர்) ` தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

சரி, முதலில் எங்கள் ANOVA எங்களுக்கு முடிவைக் கொடுத்தது *f *(2,15) = 18.6, அதேசமயம் வெல்ச் ஒரு வழி சோதனை எங்களுக்கு *f *(2,9.49) = 26.32 கொடுத்தது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வெல்ச் சோதனை 15 முதல் 9.49 வரை குழுக்களுக்குள் சுதந்திரத்தை குறைத்துள்ளது, மேலும் *f *-மதிப்பு 18.6 முதல் 26.32 வரை அதிகரித்துள்ளது.

இயல்பான அனுமானத்தை சரிபார்க்கிறது

இயல்பான அனுமானத்தை சோதிப்பது ஒப்பீட்டளவில் நேரடியானது. பிரிவில் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியவற்றில் பெரும்பாலானவற்றை நாங்கள் உள்ளடக்கியுள்ளோம்: DOC: ../ ch11/ch11_ttest_08. நாம் உண்மையில் செய்ய வேண்டிய ஒரே சேதி, ஒரு QQ சதித்திட்டத்தை வரைய வேண்டும், கூடுதலாக அது கிடைத்தால், சாபிரோ-வில்க் சோதனையை இயக்கவும். QQ சூழ்ச்சி இதில் காட்டப்பட்டுள்ளது: NUMREF: Fig-anova5 மற்றும் இது எனக்கு மிகவும் சாதாரணமானது. சாபிரோ-வில்க் சோதனை குறிப்பிடத்தக்கதாக இல்லாவிட்டால் (அதாவது * ப *> 0.05), இது இயல்பான அனுமானம் மீறப்படவில்லை என்பதை இது குறிக்கிறது. இருப்பினும், லெவெனின் சோதனையைப் போலவே, மாதிரி அளவு பெரியதாக இருந்தால், ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சாபிரோ-வில்க் சோதனை உண்மையில் தவறான நேர்மறையாக இருக்கலாம், அங்கு பகுப்பாய்விற்கான எந்தவொரு சிக்கலான அர்த்தத்திலும் இயல்புநிலையின் அனுமானம் மீறப்படாது. மேலும், இதேபோல், மிகச் சிறிய மாதிரி தவறான எதிர்மறைகளை உருவாக்கும். அதனால்தான் QQ சதித்திட்டத்தின் காட்சி ஆய்வு முக்கியமானது.

இயல்பான தன்மையிலிருந்து எந்தவொரு விலகல்களுக்கும் QQ சதித்திட்டத்தை ஆய்வு செய்வதோடு, எங்கள் தரவுகளுக்கான சாபிரோ-வில்க் சோதனை * p * = 0.6053 உடன் குறிப்பிடத்தக்க அல்லாத விளைவைக் காட்டுகிறது (பார்க்க: எண்: numref: fig-anova4a). எனவே இது QQ சூழ்ச்சி மதிப்பீட்டை ஆதரிக்கிறது; இரண்டு காசோலைகளும் இயல்புநிலை மீறப்படுகின்றன என்பதற்கான எந்தக் குறிப்பையும் காணவில்லை.

Fig. 136 QQ-plot சாமோவிக்கு ஒரு வழி ANOVA விருப்பங்களிலிருந்து தயாரிக்கப்படுகிறது

இயல்பான அனுமானத்தை நீக்குதல்

இயல்புநிலையை எவ்வாறு சரிபார்க்க வேண்டும் என்று இப்போது நாங்கள் பார்த்திருக்கிறோம், இயல்பான மீறல்களை நிவர்த்தி செய்ய நாம் என்ன செய்ய முடியும் என்று கேட்க இயல்பாகவே வழிநடத்தப்படுகிறோம். ஒரு வழி ANOVA இன் சூழலில், எளிதான தீர்வு, அளவுரு அல்லாத சோதனைக்கு மாறுவது (அதாவது, சம்பந்தப்பட்ட விநியோகத்தைப் பற்றிய எந்தவொரு குறிப்பிட்ட அனுமானத்தையும் நம்பாத ஒன்று). பிரிவில், அளவுரு அல்லாத சோதனைகளை நாங்கள் கண்டிருக்கிறோம்: doc: ../ ch11/ch11_ttest_09. உங்களிடம் இரண்டு குழுக்கள் மட்டுமே இருக்கும்போது, மான்-விட்னி அல்லது வில்காக்சன் சோதனை உங்களுக்குத் தேவையான அளவுரு அல்லாத மாற்றீட்டை வழங்குகிறது. நீங்கள் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குழுக்களைப் பெற்றால், நீங்கள் ** க்ருச்கல்-வாலிச் தரவரிசை சோதனை ** (: ref: க்ருச்கல் & வாலிச், 1952 <Kruskal_1952>) ஐப் பயன்படுத்தலாம். எனவே நாங்கள் அடுத்து பற்றி பேசும் சோதனை இதுதான்.

க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனை சில வழிகளில் ANOVA உடன் ஒத்திருக்கிறது. ANOVA இல் நாங்கள் ஒய் : sub: ik உடன் தொடங்கினோம், *k *-th குழுவில் உள்ள *i *-th நபருக்கான விளைவு மாறியின் மதிப்பு. க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனைக்கு, நாங்கள் என்ன செய்வோம் என்பது இந்த ஒய் : துணை: ik மதிப்புகள் மற்றும் தரவரிசை தரவுகளில் எங்கள் பகுப்பாய்வை நடத்துகிறது.

ஆகவே, *k *-th குழுவின் *i *-th உறுப்பினருக்கு வழங்கப்பட்ட தரவரிசையை r : sub: ik ஐப் பார்க்கலாம். இப்போது, r̄ : sub: k, *k *-th குழுவில் அவதானிப்புகளுக்கு வழங்கப்பட்ட சராசரி தரவரிசை:

\[\bar{R}_k = \frac{1}{N_K} \sum_{i} R_{ik}\]

கிராண்ட் சராசரி தரவரிசை R̄ ஐயும் கணக்கிடுவோம்

\[\bar{R} = \frac{1}{N} \sum_{i} \sum_{k} R_{ik}\]

இப்போது நாங்கள் இதைச் செய்துள்ளோம், கிராண்ட் சராசரி தரவரிசை R̄ இலிருந்து ச்கொயர் விலகல்களைக் கணக்கிடலாம். தனிப்பட்ட மதிப்பெண்களுக்காக இதைச் செய்யும்போது, அதாவது, நாம் கணக்கிட்டால் (r : sub: ik-r̄) ², நம்மிடம் இருப்பது *ik *-th அவதானிப்பு எவ்வளவு தூரம் விலகுகிறது என்பதற்கான“ ஒப்பற்ற ”அளவீடு ஆகும் கிராண்ட் சராசரி தரவரிசை. குழுவின் சதுர விலகலைக் கணக்கிடும்போது, பெரிய வழிமுறையிலிருந்து, அதாவது, நாம் கணக்கிட்டால் (r̄ : sub: k - r̄) ², பின்னர் நம்மிடம் இருப்பது * குழு * எவ்வளவு மாறுபடுகிறது என்பதற்கான அளவிலா அளவீடு ஆகும் கிராண்ட் சராசரி தரவரிசையிலிருந்து. இதைக் கருத்தில் கொண்டு, நாங்கள் ANOVA உடன் செய்த அதே தர்க்கத்தைப் பின்பற்றுவோம், மேலும் நாங்கள் முன்பு செய்ததைப் போலவே, எங்கள் * தரவரிசை * சதுர நடவடிக்கைகளின் தொகையை வரையறுப்போம். முதலாவதாக, எங்கள் “மொத்த தரவரிசை சதுரங்கள்” உள்ளன

\[\mbox{RSS}_{tot} = \sum_k \sum_i ( R_{ik} - \bar{R} )^2\]

மேலும் இது போன்ற "குழுக்களுக்கு இடையிலான சதுரங்களின் தொகையை" நாம் வரையறுக்கலாம்:

\[\begin{split}\begin{array}{rcl} \mbox{RSS}_{b} &=& \sum_k \sum_i ( \bar{R}_k - \bar{R} )^2 \\ &=& \sum_k N_k ( \bar{R}_k - \bar{R} )^2 \end{array}\end{split}\]

எனவே, சுழிய கருதுகோள் உண்மையாக இருந்தால், உண்மையான குழு வேறுபாடுகள் எதுவும் இல்லை என்றால், குழு தரவரிசை தொகைகள் rss : துணை: பி மிகச் சிறியதாக இருக்கும், மொத்த தரவரிசை தொகைகளை விட மிகச் சிறியதாக இருக்கும் என்று நீங்கள் எதிர்பார்க்கலாம்: துணை: `மொத்தம். ANOVA *f *-Statistic ஐ கட்டியெழுப்பச் சென்றபோது நாம் கண்டறிந்ததைப் போலவே இது மிகவும் தரமானது, ஆனால் தொழில்நுட்ப காரணங்களுக்காக க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனை புள்ளிவிவரம், வழக்கமாக *K *எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இது சற்று வித்தியாசமான வழியில் கட்டமைக்கப்படுகிறது,

\[K = (N - 1) \times \frac{\mbox{RSS}_b}{\mbox{RSS}_{tot}}\]

சுழிய கருதுகோள் உண்மையாக இருந்தால், * K * இன் மாதிரி வழங்கல் * g * - 1 டிகிரி சுதந்திரத்துடன் தோராயமாக * χ² ( * g * என்பது குழுக்களின் எண்ணிக்கை). *K *இன் பெரிய மதிப்பு, தரவு குறைந்த சீரான தரவு சுழிய கருதுகோளுடன் உள்ளது, எனவே இது ஒருதலைப்பட்ச சோதனை. H : துணை: 0 * K * போதுமானதாக இருக்கும்போது நாங்கள் நிராகரிக்கிறோம்.

முந்தைய பிரிவில் உள்ள விளக்கம் க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனையின் பின்னால் உள்ள தர்க்கத்தை விளக்குகிறது. ஒரு கருத்தியல் மட்டத்தில், சோதனை எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பற்றி சிந்திக்க இது சரியான வழியாகும். இருப்பினும், முற்றிலும் கணித கண்ணோட்டத்தில் இது தேவையில்லாமல் சிக்கலானது. நான் உங்களுக்கு வழித்தோன்றலைக் காட்ட மாட்டேன், ஆனால் * K * க்கான சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுத முடியும் என்பதைக் காட்ட நீங்கள் இயற்கணித சிகரி-பொக்கரியைப் பயன்படுத்தலாம் [#] _

\[K = \frac{12}{N(N-1)} \sum_k N_k {\bar{R}_k}^2 - 3(N+1)\]

இந்த கடைசி சமன்பாடு தான் சில நேரங்களில் *K *க்கு கொடுக்கப்பட்டதை நீங்கள் காண்கிறீர்கள். முந்தைய பிரிவில் நான் விவரித்த பதிப்பை விட இது கணக்கிட எளிதானது, ஆனால் இது உண்மையான மனிதர்களுக்கு முற்றிலும் அர்த்தமற்றது. அணிகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட ANOVA இன் அனலாக் என்று நான் முன்பு விவரித்த விதத்தை * K * பற்றி நினைப்பது நல்லது. ஆனால் கணக்கிடப்படும் சோதனை புள்ளிவிவரம் எங்கள் அசல் ANOVA க்கு நாங்கள் பயன்படுத்தியதை விட வித்தியாசமான தோற்றத்துடன் முடிவடைகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

ஆனால் காத்திருங்கள், இன்னும் நிறைய இருக்கிறது! அன்புள்ள ஆண்டவரே, ஏன் எப்போதும் *இன்னும் *இருக்கிறது? மூல தரவுகளில் எந்த உறவுகளும் இல்லாதபோது மட்டுமே நான் இதுவரை கூறிய கதை உண்மையில் உண்மை. அதாவது, ஒரே மதிப்பைக் கொண்ட இரண்டு அவதானிப்புகள் இல்லை என்றால். * உறவுகள் இருந்தால், இந்த கணக்கீடுகளுக்கு ஒரு திருத்தம் காரணியை நாம் அறிமுகப்படுத்த வேண்டும். இந்த கட்டத்தில் நான் மிகவும் விடாமுயற்சியுள்ள வாசகர் கூட அக்கறையை நிறுத்திவிட்டதாக நான் கருதுகிறேன் (அல்லது குறைந்தபட்சம் டை-திருத்தம் காரணி என்பது அவர்களின் உடனடி கவனம் தேவையில்லை என்ற கருத்தை உருவாக்கியது). எனவே இது எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்பதை நான் மிக விரைவாக உங்களுக்குச் சொல்வேன், மேலும் * ஏன் * இது இந்த வழியில் செய்யப்படுகிறது என்பது பற்றிய கடினமான விவரங்களைத் தவிர்க்கவும். மூல தரவுகளுக்கான அதிர்வெண் அட்டவணையை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் F : துணை: J *J *-th தனித்துவமான மதிப்பைக் கொண்ட அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும். இது சற்று சுருக்கமாகத் தோன்றலாம், எனவே | `மனநிலை.

0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.8	0.9	1.1	1.2	1.3	1.4	1.7	1.8
1	1	2	1	1	2	1	1	1	1	2	2	1	1

இந்த அட்டவணையைப் பார்க்கும்போது, அதிர்வெண் அட்டவணையில் மூன்றாவது நுழைவு 2 இன் மதிப்பு இருப்பதைக் கவனியுங்கள். இது 0.3 இன் `` மனநிலைக்கு ஏற்படுகிறது .3 இன் `` மனநிலை. மேலும், நான் மேலே அறிமுகப்படுத்திய கணிதக் குறியீட்டில், இது F : துணை: 3 = 2. ஆம். எனவே, இப்போது இதை நாம் அறிந்திருக்கிறோம், டை திருத்தும் காரணி (டி.சி.எஃப்):

\[\mbox{TCF} = 1 - \frac{\sum_j {f_j}^3 - f_j}{N^3 - N}\]

க்ருச்கல்-வாலிச் புள்ளிவிவரத்தின் டை-சரிசெய்யப்பட்ட மதிப்பு * k * இன் மதிப்பை இந்த அளவால் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இந்த டை-சரிசெய்யப்பட்ட பதிப்புதான் சாமோவி கணக்கிடுகிறது. நீண்ட காலமாக, நாங்கள் உண்மையில் க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனையின் கோட்பாட்டுடன் முடித்துவிட்டோம். க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனைக்கான டை-திருத்தம் காரணியை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பது உங்களுக்குத் தெரியாதது என்பதை நீங்கள் உணரும்போது இயற்கையாகவே எழும் இருத்தலியல் கவலையை நான் குணப்படுத்தினேன் என்பதில் நீங்கள் அனைவரும் மிகவும் நிம்மதியடைகிறீர்கள் என்பது எனக்குத் தெரியும். சரி?

சாமோவியில் க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனையை எவ்வாறு இயக்குவது

க்ருச்கல்-வாலிச் சோதனை உண்மையில் என்ன செய்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிப்பதில் நாங்கள் கடந்து சென்ற அதிர்ச்சி இருந்தபோதிலும், சோதனையை இயக்குவது மிகவும் வலியற்றது என்று மாறிவிடும், ஏனெனில் `` அனோவா`` பகுப்பாய்வு தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாக சாமோவிக்கு ஒரு பகுப்பாய்வு உள்ளது `` அளவுரு அல்லாத` - ஒரு வழி அனோவா (க்ருச்கால்-வாலிச்) . பெரும்பாலான நேரங்களில் உங்களிடம் | கிளினிக்கல் ட்ரீல் | _ தரவு தொகுப்பு போன்ற தரவு இருக்கும், இதில் உங்கள் விளைவு மாறி ` மனநிலை. அப்படியானால், நீங்கள் மேலே சென்று சமோவியில் பகுப்பாய்வை இயக்கலாம். இது நமக்குத் தருவது ஒரு க்ருச்கல்-வாலிச் χ² = 12.076, *df *= 2, *p *-value = 0.00239, இதைப் போல: numref: fig-anova6.

Fig. 137 அளவுரு அல்லாத `` ஒரு வழி அனோவா (க்ருச்கல்-வாலிச்) `` சாமோவியில்

---

[1]

ஒரு தொழில்நுட்ப சொல்.