Section author: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

மக்கள் தொகை அளவுருக்களை மதிப்பிடுதல்

முந்தைய பிரிவுகளில் உள்ள அனைத்து ஐ.க்யூ எடுத்துக்காட்டுகளிலும், மக்கள் தொகை அளவுருக்களை நேரத்திற்கு முன்பே நாங்கள் அறிந்தோம். ஒவ்வொரு இளங்கலை பட்டதாரிகளும் உளவுத்துறையை அளவிடுவது குறித்த அவர்களின் முதல் சொற்பொழிவில் கற்பிக்கப்படுவதால், IQ மதிப்பெண்கள் * வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன * சராசரி 100 மற்றும் நிலையான விலகல் 15 ஐக் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும், இது ஒரு பொய்யாகும். ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள் 100 இன் உண்மையான மக்கள்தொகை சராசரியைக் கொண்டுள்ளன என்பது எங்களுக்கு எப்படித் தெரியும்? சரி, இது எங்களுக்குத் தெரியும், ஏனென்றால் சோதனைகளை வடிவமைத்தவர்கள் அவற்றை மிகப் பெரிய மாதிரிகளுக்கு நிர்வகித்துள்ளனர், பின்னர் மதிப்பெண் விதிகளை "மோசடி" செய்துள்ளனர், இதனால் அவர்களின் மாதிரி 100 ஐ குறிக்கிறது. அது நிச்சயமாக ஒரு மோசமான சேதி அல்ல, இது ஒரு முக்கியமான பகுதியாகும் ஒரு உளவியல் அளவீட்டை வடிவமைத்தல். இருப்பினும், 100 இன் இந்த தத்துவார்த்த சராசரி சோதனை வடிவமைப்பாளர்கள் சோதனைகளை வடிவமைக்கப் பயன்படுத்திய மக்கள்தொகையுடன் மட்டுமே இணைகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். நல்ல சோதனை வடிவமைப்பாளர்கள் உண்மையில் பல்வேறு மக்களுக்கு (எ.கா., வெவ்வேறு வயதுக் குழுக்கள், தேசிய இனங்கள் போன்றவை) பொருந்தக்கூடிய “சோதனை விதிமுறைகளை” வழங்க சில நீளங்களுக்குச் செல்வார்கள்.

இது மிகவும் எளிது, ஆனால் நிச்சயமாக ஒவ்வொரு ஆர்வமுள்ள ஒவ்வொரு ஆராய்ச்சித் திட்டமும் சோதனை விதிமுறைகளில் பயன்படுத்தப்படுபவர்களுக்கு வேறுபட்ட மக்கள்தொகையைப் பார்ப்பது அடங்கும். உதாரணமாக, தென் ஆச்திரேலிய தொழில்துறை நகரமான துறைமுகம் பிர்யில் ஒரு முன்னணி ச்மெல்ட்டருடன் அறிவாற்றல் செயல்பாட்டில் குறைந்த அளவிலான ஈய விசத்தின் விளைவை அளவிட விரும்புகிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எஃகு சுத்திகரிப்பு நிலையத்துடன் கூடிய தெற்கு ஆச்திரேலிய தொழில்துறை நகரமான வொல்லாவில் உள்ள ஒரு ஒப்பிடக்கூடிய மாதிரியுடன் துறைமுகம் பைரியில் உள்ளவர்களிடையே ஐ.க்யூ மதிப்பெண்களை ஒப்பிட விரும்புகிறீர்கள் என்று நீங்கள் முடிவு செய்திருக்கலாம். [#] _ நீங்கள் எந்த நகரத்தைப் பற்றி நினைத்தாலும், அது இல்லை ' உண்மையான மக்கள்தொகை என்பது IQ 100 என்று பொருள் என்று கருதுவதற்கு * நிறைய அர்த்தத்தை தருகிறது. என் அறிவுக்கு, தென் ஆச்திரேலிய தொழில்துறை நகரங்களுக்கு தானாகவே பயன்படுத்தக்கூடிய விவேகமான நெறிமுறை தரவுகளை யாரும் உருவாக்கவில்லை. தரவுகளின் மாதிரியிலிருந்து மக்கள் தொகை அளவுருக்களை ** மதிப்பிட வேண்டும் **. எனவே இதை எப்படி செய்வது?

மக்கள்தொகையை மதிப்பிடுவது

நாங்கள் துறைமுகம் பிரிக்குச் செல்கிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் 100 உள்ளக மக்கள் ஒரு ஐ.க்யூ சோதனையின் மூலம் உட்கார போதுமானவர்கள். இந்த நபர்களிடையே சராசரி ஐ.க்யூ மதிப்பெண் * x̄ * = 98.5 ஆக மாறும். துறைமுகம் பிரியின் முழு மக்களுக்கும் உண்மையான சராசரி IQ என்ன? வெளிப்படையாக, அந்த கேள்விக்கான பதில் எங்களுக்குத் தெரியாது. இது 97.2 ஆக இருக்கலாம், ஆனால் இது 103.5 ஆகவும் இருக்கலாம். எங்கள் மாதிரி முழுமையடையாது, எனவே ஒரு உறுதியான பதிலை எங்களால் கொடுக்க முடியாது. ஆயினும்கூட, “சிறந்த யூகத்தை” கொடுக்க துப்பாக்கி முனையில் நான் கட்டாயப்படுத்தப்பட்டால், நான் 98.5 என்று சொல்ல வேண்டும். இது புள்ளிவிவர மதிப்பீட்டின் சாராம்சம்: ஒரு சிறந்த யூகத்தை அளிக்கிறது.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் அறியப்படாத கோலேசன் அளவுருவை மதிப்பிடுவது நேரடியானது. நான் மாதிரி சராசரியைக் கணக்கிடுகிறேன், மக்கள்தொகையின் எனது ** மதிப்பீடாக நான் அதைப் பயன்படுத்துகிறேன் **. இது மிகவும் எளிதானது, அடுத்த பகுதியில் இந்த உள்ளுணர்வு பதிலுக்கான புள்ளிவிவர நியாயத்தை நான் விளக்குகிறேன். எவ்வாறாயினும், நான் என்ன செய்ய விரும்புகிறேன் என்பது மாதிரி புள்ளிவிவரமும் மக்கள்தொகை அளவுருவின் மதிப்பீடும் கருத்தியல் ரீதியாக வேறுபட்ட விசயங்கள் என்பதை நீங்கள் அங்கீகரிப்பதை உறுதிசெய்க. ஒரு மாதிரி புள்ளிவிவரம் என்பது உங்கள் தரவின் விளக்கமாகும், அதேசமயம் மதிப்பீடு என்பது மக்கள்தொகையைப் பற்றிய ஒரு யூகமாகும். இதைக் கருத்தில் கொண்டு, புள்ளிவிவர வல்லுநர்கள் பெரும்பாலும் அவற்றைக் குறிக்க வேறுபட்ட குறியீட்டைக் கொண்டுள்ளனர். உதாரணமாக, உண்மையான மக்கள்தொகை சராசரி எனக் குறிக்கப்பட்டால், நாம் பயன்படுத்துவோம்: கணிதம்: தொப்பி mu மக்கள் தொகை குறித்த நமது மதிப்பீட்டைக் குறிக்க. இதற்கு நேர்மாறாக, மாதிரி சராசரி *x̄ *அல்லது சில நேரங்களில் *m *அல்லது *m *எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், எளிய சீரற்ற மாதிரிகளில் மக்கள்தொகை சராசரி மதிப்பீடு மாதிரி சராசரிக்கு ஒத்ததாகும். * X̄ * = 98.5 இன் மாதிரி சராசரியை நான் கவனித்தால், மக்கள்தொகையைப் பற்றிய எனது மதிப்பீடும் அர்த்தம்: கணிதம்: தொப்பி mu = 98.5. குறியீட்டை தெளிவாக வைத்திருக்க உதவ, இங்கே ஒரு எளிமையான அட்டவணை:

அடையாளம்	அது என்ன?	அது என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியுமா?
X̄	மாதிரி சராசரி	ஆம், மூல தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது
µ	உண்மையான மக்கள் தொகை சராசரி	நிச்சயமாக ஒருபோதும் அறியப்படவில்லை
\(\hat{\mu}\)	மக்கள்தொகையின் மதிப்பீடு பொருள்	ஆம், எளிய சீரற்ற மாதிரிகளில் மாதிரிக்கு ஒத்ததாகும்

மக்கள்தொகை நிலையான விலகலை மதிப்பிடுதல்

இதுவரை, மதிப்பீடு மிகவும் எளிமையானதாகத் தோன்றுகிறது, மேலும் மாதிரி கோட்பாட்டைப் பற்றிய எல்லாவற்றையும் படிக்க நான் ஏன் உங்களை கட்டாயப்படுத்தினேன் என்று நீங்கள் யோசித்துக்கொண்டிருக்கலாம். சராசரி மக்கள்தொகை அளவுருவைப் பற்றிய எங்கள் மதிப்பீடு (அதாவது: கணிதம்: தொப்பி mu) தொடர்புடைய மாதிரி புள்ளிவிவரத்திற்கு (அதாவது x̄ *) ஒத்ததாக மாறியது. இருப்பினும், அது எப்போதும் உண்மையல்ல. இதைப் பார்க்க, மக்கள்தொகை தர விலகல் * இன் ** மதிப்பீட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பது பற்றி சிந்திக்கலாம், அதை நாங்கள் குறிப்போம்: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா. இந்த விசயத்தில் எங்கள் மதிப்பீடாக நாம் எதைப் பயன்படுத்த வேண்டும்? உங்கள் முதல் எண்ணம் என்னவென்றால், சராசரியை மதிப்பிடும்போது நாங்கள் செய்ததைப் போலவே செய்ய முடியும், மேலும் மாதிரி புள்ளிவிவரத்தை எங்கள் மதிப்பீடாகப் பயன்படுத்துங்கள். இது கிட்டத்தட்ட சரியான சேதி, ஆனால் இல்லை.

இங்கே ஏன். ஒற்றை அவதானிப்பைக் கொண்ட ஒரு மாதிரி என்னிடம் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த எடுத்துக்காட்டுக்கு, உண்மையான மக்கள்தொகை மதிப்புகள் என்னவாக இருக்கும் என்பதைப் பற்றி உங்களுக்கு உள்ளுணர்வுகள் இல்லாத ஒரு மாதிரியைக் கருத்தில் கொள்ள இது உதவுகிறது, எனவே முற்றிலும் கற்பனையான ஒன்றைப் பயன்படுத்துவோம். கேள்விக்குரிய அவதானிப்பு எனது காலணிகளின் * க்ரோமுலென்சை * அளவிடுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். எனது காலணிகளில் 20 பேர் உள்ளனர் என்று மாறிவிடும். எனவே இங்கே எனது மாதிரி:

20

இது ஒரு முழுமையான முறையான மாதிரி, இது * n * = 1 மாதிரி அளவைக் கொண்டிருந்தாலும் கூட. இது 20 இன் மாதிரி சராசரி மற்றும் இந்த மாதிரியில் உள்ள ஒவ்வொரு அவதானிப்பும் மாதிரி சராசரிக்கு சமம் (வெளிப்படையாக!) அதில் ஒரு மாதிரி உள்ளது 0 இன் நிலையான விலகல். * மாதிரி * இன் விளக்கமாக இது சரியானது என்று தோன்றுகிறது, மாதிரியில் ஒரு அவதானிப்பு உள்ளது, எனவே மாதிரியில் எந்த மாறுபாடும் காணப்படவில்லை. * S * = 0 இன் மாதிரி நிலையான விலகல் இங்கே சரியான பதில். ஆனால் * மக்கள் தொகை * நிலையான விலகலின் மதிப்பீடாக இது முற்றிலும் பைத்தியக்காரத்தனமாக உணர்கிறது, இல்லையா? ஒப்புக்கொண்டபடி, நீங்களும் நானும் “க்ரோமலென்ச்” என்றால் என்ன என்பது பற்றி எதுவும் தெரியாது, ஆனால் தரவைப் பற்றி எங்களுக்கு ஏதாவது தெரியும். * மாதிரி * இல் எந்த மாறுபாட்டையும் நாம் காணாத ஒரே காரணம், எந்த மாறுபாட்டையும் காட்ட மாதிரி மிகவும் சிறியது! எனவே, உங்களிடம் * n * = 1 இன் மாதிரி அளவு இருந்தால், அது * சரியான பதிலைப் போலவே உணர்கிறது “எதுவும் தெரியாது” என்று சொல்வது.

மாதிரி சராசரி மற்றும் மக்கள் தொகை சராசரி என்று வரும்போது உங்களுக்கு * அதே உள்ளுணர்வு இல்லை என்பதைக் கவனியுங்கள். மக்கள்தொகையைப் பற்றி ஒரு சிறந்த யூகத்தை உருவாக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருந்தால், மக்கள்தொகை சராசரி 20 என்று யூகிப்பது முற்றிலும் பைத்தியக்காரத்தனமாக உணரவில்லை. நிச்சயமாக, அந்த யூகத்தில் நீங்கள் மிகுந்த நம்பிக்கையுடன் இருக்க மாட்டீர்கள், ஏனென்றால் நீங்கள் வேலை செய்ய ஒரு அவதானிப்பு மட்டுமே உள்ளது , ஆனால் நீங்கள் செய்யக்கூடிய சிறந்த உய்த்துணர்தல் இது.

இந்த உதாரணத்தை கொஞ்சம் நீட்டிப்போம். நான் இப்போது இரண்டாவது அவதானிப்பை மேற்கொள்கிறேன் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எனது தரவுத் தொகுப்பில் இப்போது * n * = 2 காலணிகளின் க்ரோமுலென்சின் அவதானிப்புகள் உள்ளன, மேலும் முழுமையான மாதிரி இப்போது போல் தெரிகிறது:

20, 22

இந்த நேரத்தில், எங்கள் மாதிரி * சில மாறுபாடுகளைக் கடைப்பிடிக்க எங்களுக்கு போதுமானதாக இருக்கிறது: இரண்டு அவதானிப்புகள் எந்தவொரு மாறுபாட்டையும் கவனிக்க வேண்டிய குறைந்தபட்ச எண்! எங்கள் புதிய தரவு தொகுப்பைப் பொறுத்தவரை, மாதிரி சராசரி * x̄ * = 21, மற்றும் மாதிரி நிலையான விலகல் * S * = 1 ஆகும். மக்கள் தொகை குறித்து நமக்கு என்ன உள்ளுணர்வுகள் உள்ளன? மீண்டும், மக்கள்தொகை அர்த்தமுள்ள வரையில், நாம் செய்யக்கூடிய சிறந்த உய்த்துணர்தல் மாதிரி சராசரி. யூகிக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருந்தால், மக்கள் தொகை 21 என்று மக்கள்தொகை என்று நாம் யூகிக்கிறோம். நிலையான விலகல் பற்றி என்ன? இது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது. மாதிரி நிலையான விலகல் இரண்டு அவதானிப்புகளை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டது, நீங்கள் என்னைப் போலவே இருந்தால், உங்களுக்கு உள்ளுணர்வு இருக்கலாம், இரண்டு அவதானிப்புகள் மட்டுமே மக்கள்தொகைக்கு அதன் உண்மையான மாறுபாட்டை வெளிப்படுத்த “போதுமான வாய்ப்பை” வழங்கவில்லை எங்களுக்கு. மதிப்பீடு *தவறு *என்று நாங்கள் சந்தேகிப்பது மட்டுமல்ல, எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக இரண்டு அவதானிப்புகள் மட்டுமே இது ஓரளவிற்கு தவறு என்று நாங்கள் எதிர்பார்க்கிறோம். கவலை என்னவென்றால், பிழை *முறையானது *. குறிப்பாக, மாதிரி நிலையான விலகல் மக்கள்தொகை நிலையான விலகலை விட சிறியதாக இருக்கும் என்று நாங்கள் சந்தேகிக்கிறோம்.

இந்த உள்ளுணர்வு சரியாக உணர்கிறது, ஆனால் இதை எப்படியாவது நிரூபிப்பது நன்றாக இருக்கும். உண்மையில் இந்த உள்ளுணர்வை உறுதிப்படுத்தும் கணித சான்றுகள் உள்ளன, ஆனால் உங்களுக்கு சரியான கணித பின்னணி இல்லையென்றால் அவை அதிகம் உதவாது. அதற்கு பதிலாக, நான் என்ன செய்வேன் என்பது சில சோதனைகளின் முடிவுகளை உருவகப்படுத்துவதாகும். இதைக் கருத்தில் கொண்டு, எங்கள் ஐ.க்யூ ஆய்வுகளுக்குத் திரும்புவோம். உண்மையான மக்கள் தொகை IQ 100 மற்றும் நிலையான விலகல் 15 ஆகும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். முதலில் நான் ஒரு பரிசோதனையை நடத்துவேன், அதில் நான் * n * = 2 IQ மதிப்பெண்களை அளவிடுகிறேன், மேலும் மாதிரி நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவேன். நான் இதை மீண்டும் மீண்டும் செய்தால், இந்த மாதிரி நிலையான விலகல்களின் ஒரு இச்டோகிராம் சூழ்ச்சி செய்தால், என்னிடம் உள்ள சேதி நிலையான விலகலின் *மாதிரி வழங்கல் *. இந்த விநியோகத்தை நான் இவற்றில் சூழ்ச்சி செய்துள்ளேன்: NUMREF: Fig-samplingdistististamplesd. உண்மையான மக்கள்தொகை நிலையான விலகல் 15 என்றாலும், * மாதிரி * நிலையான விலகல்களின் சராசரி 8.5 மட்டுமே. நாம் கண்டறிந்தவற்றிற்கு இது மிகவும் மாறுபட்ட முடிவு என்பதைக் கவனியுங்கள்: NUMREF: Fig-samplingdistdiffn (நடுத்தர குழு) நாங்கள் சராசரியின் மாதிரி விநியோகத்தை திட்டமிட்டபோது, மக்கள் தொகை சராசரி 100 மற்றும் மாதிரியின் சராசரியும் கூட 100.

Fig. 64 “இரண்டு IQ மதிப்பெண்கள்” பரிசோதனைக்கான மாதிரி நிலையான விலகலின் மாதிரி வழங்கல். உண்மையான மக்கள்தொகை தரமான விலகல் 15 (கோடு வரி) ஆகும், ஆனால் நீங்கள் இச்டோகிராமில் இருந்து பார்க்க முடியும் எனில், பெரும்பாலான சோதனைகள் இதை விட மிகச் சிறிய மாதிரி நிலையான விலகலை உருவாக்கும். சராசரியாக, இந்த சோதனை ஒரு மாதிரி நிலையான விலகலை 8.5 மட்டுமே உருவாக்கும், இது உண்மையான மதிப்புக்கு கீழே! வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மாதிரி நிலையான விலகல் என்பது மக்கள்தொகை தர விலகலின் பக்கச்சார்பான மதிப்பீடாகும்.

இப்போது உருவகப்படுத்துதலை நீட்டிப்போம். * N * = 2 இருக்கும் சூழ்நிலைக்கு நம்மை கட்டுப்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, மாதிரி அளவுகளுக்கான உடற்பயிற்சியை 1 முதல் 10 வரை மீண்டும் செய்வோம். மாதிரி அளவின் செயல்பாடாக சராசரி மாதிரி சராசரி மற்றும் சராசரி மாதிரி நிலையான விலகலை நாங்கள் சூழ்ச்சி செய்தால், காட்டப்பட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள் இல்: எண்ரெஃப்: Fig-biasmeansd. இடது புறத்தில் நான் சராசரி மாதிரி சராசரியைத் திட்டமிட்டுள்ளேன், வலது புறத்தில் சராசரி நிலையான விலகலைத் திட்டமிட்டுள்ளேன். இரண்டு அடுக்குகளும் முற்றிலும் வேறுபட்டவை: சராசரியாக *, சராசரி மாதிரி சராசரி மக்கள் தொகை சராசரிக்கு சமம். இது ஒரு * பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர் ** ஆகும், இது மக்கள்தொகைக்கான உங்கள் சிறந்த மதிப்பீடு மாதிரி சராசரி என்பதற்கு முக்கியமாக காரணம். [#] _ வலதுபுறத்தில் உள்ள சூழ்ச்சி முற்றிலும் வேறுபட்டது: சராசரியாக, மாதிரி நிலையான விலகல்* எச்* என்பது மக்கள்தொகை தர விலகலை விட* சிறியது*. இது ஒரு ** சார்புடைய மதிப்பீட்டாளர் **. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாம் ஒரு “சிறந்த யூகத்தை” செய்ய விரும்பினால்: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா மக்கள்தொகை தரமான விலகலின் மதிப்பைப் பற்றி σ எங்கள் உய்த்துணர்தல் மாதிரி நிலையான விலகலை விட சற்று பெரியது என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டும் *கள் *.

Fig. 65 மாதிரி சராசரி என்பது மக்கள்தொகையின் ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர் (இடது குழு) என்ற உண்மையின் விளக்கம், ஆனால் மாதிரி நிலையான விலகல் என்பது மக்கள்தொகை தர விலகலின் (வலது குழு) ஒரு பக்கச்சார்பான மதிப்பீட்டாளராகும். படத்தைப் பொறுத்தவரை, நான் 10,000 உருவகப்படுத்தப்பட்ட தரவுத் தொகுப்புகளை ஒவ்வொன்றும் 1 அவதானிப்புடன் உருவாக்கினேன், 10,000 மேலும் 2 அவதானிப்புகளுடன், மற்றும் மாதிரி அளவு 10 வரை. ஒவ்வொரு தரவு தொகுப்பும் போலி ஐ.க்யூ தரவைக் கொண்டிருந்தது, அதாவது தரவு பொதுவாக a உடன் விநியோகிக்கப்பட்டது உண்மையான மக்கள் தொகை 100 மற்றும் நிலையான விலகல் 15. சராசரியாக, மாதிரி அளவு (இடது குழு) பொருட்படுத்தாமல், மாதிரி 100 ஆக மாறும். இருப்பினும், மாதிரி நிலையான விலகல்கள் முறையாக மிகச் சிறியதாக மாறும் (வலது குழு), குறிப்பாக சிறிய மாதிரி அளவுகளுக்கு.

இந்த முறையான சார்புக்கான பிழைத்திருத்தம் மிகவும் எளிமையானதாக மாறும். இது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பது இங்கே. நிலையான விலகலைக் கையாள்வதற்கு முன் மாறுபாட்டைப் பார்ப்போம். நீங்கள் நினைவுகூர்ந்தால்: DOC: ../ CH04/CH04_Descrictives_2, மாதிரி மாறுபாடு மாதிரி சராசரியிலிருந்து சதுர விலகல்களின் சராசரியாக வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது:

\[s^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2\]

மாதிரி மாறுபாடு *S *² என்பது மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் பக்கச்சார்பான மதிப்பீட்டாளர் σ². ஆனால் அது மாறிவிட்டால், இதை ஒரு பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளராக மாற்ற ஒரு சிறிய மாற்றங்களை மட்டுமே செய்ய வேண்டும். நாம் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் *n *ஐ விட *n * - 1 ஆல் வகுக்க வேண்டும். நாங்கள் அவ்வாறு செய்தால், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

\[\hat\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2\]

இது மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர் σ². மேலும், இது இறுதியாக நாங்கள் எழுப்பிய கேள்விக்கு பதிலளிக்கிறது: DOC: ../ ch04/ch04_descrictives_2. மாறுபாட்டிற்கு சமோவி ஏன் சற்று வித்தியாசமான பதில்களை எங்களுக்குக் கொடுத்தார்? சமோவி கணக்கிடுவதால் தான்: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா^2 இல்லை *கள் *² ², அதனால்தான். நிலையான விலகலுக்கு இதே போன்ற கதை பொருந்தும். நாம் * n * ஐ விட * n * - 1 ஆல் வகுத்தால், மக்கள்தொகை நிலையான விலகல் பற்றிய நமது மதிப்பீடு ஆகிறது:

\[\hat\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (X_i - \bar{X})^2}\]

நிலையான விலகல் செயல்பாட்டில் கட்டப்பட்ட சாமோவியின் கட்டமைக்கப்பட்டால், அது என்ன செய்கிறது என்பதைக் கணக்கிடுகிறது: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா, *கள் *. [#] _ _

ஒரு இறுதி புள்ளி. நடைமுறையில், நிறைய பேர் குறிப்பிடுகிறார்கள்: கணிதம்: தொப்பி {சிக்மா} (அதாவது, * n * - 1 ஆல் நாம் வகுக்கும் சூத்திரம்) * மாதிரி * நிலையான விலகலாக. தொழில்நுட்ப ரீதியாக, இது தவறானது. *மாதிரி *நிலையான விலகல் *s *க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் (அதாவது, நாம் *n *ஆல் வகுக்கும் சூத்திரம்). இவை ஒரே மாதிரியானவை அல்ல, கருத்தியல் ரீதியாகவோ அல்லது எண்ணியல் ரீதியாகவோ. ஒன்று மாதிரியின் சொத்து, மற்றொன்று மக்கள்தொகையின் மதிப்பிடப்பட்ட பண்பு. எவ்வாறாயினும், கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு நிச வாழ்க்கை பயன்பாட்டிலும் நாம் உண்மையில் அக்கறை கொள்வது மக்கள் தொகை அளவுருவின் மதிப்பீடு, எனவே மக்கள் எப்போதும் புகாரளிக்கிறார்கள்: கணிதம்: *கள் *ஐ விட தொப்பி சிக்மா. நிச்சயமாக புகாரளிக்க இது சரியான எண். மக்கள் அதை எழுதும்போது சொற்களைப் பற்றி கொஞ்சம் துல்லியமாகப் பெறுகிறார்கள், ஏனென்றால் “மாதிரி நிலையான விலகல்” “மதிப்பிடப்பட்ட மக்கள்தொகை தர விலகல்” ஐ விடக் குறைவானது. இது ஒன்றும் பெரிய விசயமல்ல, நடைமுறையில் எல்லோரும் செய்யும் அதே காரியத்தையும் நான் செய்கிறேன். ஆயினும்கூட, இரண்டு * கருத்துக்களை * தனித்தனியாக வைத்திருப்பது முதன்மை என்று நான் நினைக்கிறேன். “உங்கள் மாதிரியின் அறியப்பட்ட பண்புகளை” “அது வந்த மக்கள்தொகையைப் பற்றிய யூகங்களுடன்” குழப்புவது ஒருபோதும் நல்லதல்ல. * கள் * மற்றும்: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா ஒரே சேதி என்று நீங்கள் நினைக்கத் தொடங்கும் தருணம், நீங்கள் அதைச் சரியாகச் செய்யத் தொடங்குகிறீர்கள்.

இந்த பகுதியை முடிக்க, விசயங்களை தெளிவாக வைத்திருக்க உதவும் மற்றொரு இரண்டு அட்டவணைகள் இங்கே.

அடையாளம்	அது என்ன?	அது என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியுமா?
s	மாதிரி நிலையான விலகல்	ஆம், மூல தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது
σ	மக்கள்தொகை தர விலகல்	நிச்சயமாக ஒருபோதும் அறியப்படவில்லை
\(\hat{\sigma}\)	மக்கள்தொகை நிலையான விலகலின் மதிப்பீடு	ஆம், ஆனால் மாதிரி நிலையான விலகலுக்கு சமமானதல்ல
s²	மாதிரி மாறுபாடு	ஆம், மூல தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது
σ²	மக்கள் தொகை மாறுபாடு	நிச்சயமாக ஒருபோதும் அறியப்படவில்லை
\(\hat{\sigma}^2\)	மக்கள் தொகை மாறுபாட்டின் மதிப்பீடு	ஆம், ஆனால் மாதிரி மாறுபாட்டிற்கு சமமானதல்ல

---

[1]

இந்த கேள்வியில் நீங்கள் * உண்மையில் * ஆர்வமாக இருந்தால், நான் இங்கே இருப்பதை விட * நிறைய * ஆக இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க. நீங்கள் * செய்ய முடியாது * WAYALLAA இல் உள்ள IQ மதிப்பெண்களை துறைமுகம் பைரியுடன் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கவும், எந்தவொரு வேறுபாடுகளும் ஈய நஞ்சு காரணமாக இருப்பதாக கருதுங்கள். இரு நகரங்களுக்கிடையிலான வேறுபாடுகள் வெவ்வேறு சுத்திகரிப்பு நிலையங்களுடன் ஒத்திருந்தன என்பது உண்மைதான் என்றாலும் (அது ஒரு நீண்ட காட்சி மூலம் அல்ல), மாசுபாடு அறிவாற்றலை ஏற்படுத்துகிறது என்று மக்கள் ஏற்கனவே * நம்புகிறார்கள் * என்று நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் பற்றாக்குறைகள். அத்தியாயம்: டாக்: ../ ch02/ch02_studydesign ஆகியவற்றிற்கு நீங்கள் நினைவுகூர்ந்தால், இதன் பொருள், வைல்லா மாதிரியை விட துறைமுகம் பைரி மாதிரிக்கு வெவ்வேறு கோரிக்கை விளைவுகள் உள்ளன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உங்கள் தரவுகளில் ஒரு மாயையான குழு வேறுபாட்டைக் கொண்டு நீங்கள் முடிவடையும், உண்மையான வேறுபாடு இருப்பதாக மக்கள் * நினைக்கிறார்கள் *. லேப் கோட்டுகள் மற்றும் ஐ.க்யூ சோதனைகளுடன் துறைமுகம் பைரியில் ஒரு சில ஆராய்ச்சியாளர்கள் திரும்பினால், நீங்கள் என்ன செய்ய முயற்சிக்கிறீர்கள் என்பது பற்றி உள்ளூர்வாசிகள் நன்கு அறிந்திருக்க மாட்டார்கள் என்று நினைப்பது மிகவும் நம்பமுடியாததாக நான் கருதுகிறேன், மேலும் நிறைய நினைப்பது இன்னும் குறைவாக நம்பத்தகுந்தது அதைச் செய்ததற்காக மக்கள் உங்களுக்கு மிகவும் கோபமாக இருப்பார்கள். அந்த நபர்கள் சோதனைகளில் கூட்டுறவு கொள்ள மாட்டார்கள். துறைமுகம் பைரியில் உள்ள மற்றவர்கள் தங்கள் சொந்த ஊரை மோசமாகப் பார்க்க விரும்பாததால், சிறப்பாகச் செய்ய தூண்டப்படுவார்கள். வைல்லாவில் பொருந்தக்கூடிய உந்துதல் விளைவுகள் பலவீனமாக இருக்கக்கூடும், ஏனென்றால் மக்களுக்கு “இரும்பு தாது விசம்” என்ற கருத்து எதுவும் இல்லை, அதே வழியில் அவர்கள் “ஈய விசம்” என்பதற்கான ஒரு கருத்தை வைத்திருக்கிறார்கள். உளவியல் *கடினமானது *.

[2]

நான் இங்கே எதையாவது மறைக்கிறேன் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். பக்கச்சார்பற்ற தன்மை என்பது ஒரு மதிப்பீட்டாளருக்கு விரும்பத்தக்க பண்பு, ஆனால் சார்பு தவிர முக்கியத்துவம் வாய்ந்த பிற விசயங்கள் உள்ளன. இருப்பினும், இதை எந்த விவரத்திலும் விவாதிப்பது இந்த புத்தகத்தின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது. இங்கே சில மறைக்கப்பட்ட சிக்கலானது உள்ளது என்பதற்கு உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன்.

[3]

சரி, நான் இங்கே வேறு எதையாவது மறைக்கிறேன். ஒரு வினோதமான மற்றும் எதிர்-உள்ளுணர்வு திருப்பத்தில், ஏனெனில்: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா^2 என்பது σ² இன் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளர், சதுர மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வது நன்றாக இருக்கும் என்று நீங்கள் கருதுவீர்கள்: கணிதம்:` தொப்பி சிக்மா` of இன் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீட்டாளராக இருக்கும். சரி? வித்தியாசமாக, அது இல்லை. உண்மையில் ஒரு நுட்பமான, சிறிய சார்பு உள்ளது: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா. இது வெறும் வினோதமானது :: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா^2 என்பது மக்கள்தொகை மாறுபாட்டின் பக்கச்சார்பற்ற மதிப்பீடாகும் σ², ஆனால் நீங்கள் சதுர மூலத்தை எடுக்கும்போது, அது மாறிவிடும்: கணிதம்:` ஆட் சிக்மா` ஒரு சார்புடையது மக்கள்தொகை தரமான விலகலின் மதிப்பீட்டாளர். வித்தியாசமான, வித்தியாசமான, வித்தியாசமான, இல்லையா? எனவே, ஏன்: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா பக்கச்சார்பானது? தொழில்நுட்ப பதில் “ஏனெனில் நேரியல் அல்லாத மாற்றங்கள் (எ.கா., சதுர வேர்) எதிர்பார்ப்புடன் பயணிக்காது”, ஆனால் இது கணித புள்ளிவிவரங்களில் ஒரு பாடத்திட்டத்தை எடுக்காத அனைவருக்கும் மோசமானதாகத் தெரிகிறது. அதிர்ச்டவசமாக, இது நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக ஒரு பொருட்டல்ல. சார்பு சிறியது, நிச வாழ்க்கையில் எல்லோரும் பயன்படுத்தும்: கணிதம்: தொப்பி சிக்மா மற்றும் அது நன்றாக வேலை செய்கிறது. சில நேரங்களில் கணிதம் எரிச்சலூட்டும்.