Section author: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

மாதிரி வழங்கல் மற்றும் நடு வரம்பு தேற்றம்

அதிக எண்ணிக்கையிலான சட்டம் மிகவும் சக்திவாய்ந்த கருவியாகும், ஆனால் எங்கள் எல்லா கேள்விகளுக்கும் பதிலளிக்க இது போதுமானதாக இருக்காது. மற்றவற்றுடன், அது நமக்கு அளிப்பது "நீண்டகால பொறுப்பு" மட்டுமே. நீண்ட காலமாக, எப்படியாவது எல்லையற்ற தரவை சேகரிக்க முடிந்தால், பெரிய எண்ணிக்கையிலான சட்டம் எங்கள் மாதிரி புள்ளிவிவரங்கள் சரியாக இருக்கும் என்று பொறுப்பு அளிக்கிறது. ஆனால் சான் மேனார்ட் கெய்ன்ச் பொருளாதாரத்தில் பிரபலமாக வாதிட்டது போல, நீண்டகால பொறுப்பு நிச வாழ்க்கையில் சிறிதும் பயனில்லை.

[தி] நீண்ட காலமாக நடப்பு விவகாரங்களுக்கு தவறான வழிகாட்டியாகும். நீண்ட காலத்திற்கு நாம் அனைவரும் இறந்துவிட்டோம். பொருளாதார வல்லுநர்கள் தங்களை மிகவும் எளிதான, மிகவும் பயனற்ற ஒரு பணியை அமைத்துக் கொண்டனர், கொந்தளிப்பான பருவங்களில் அவர்கள் எங்களிடம் சொல்ல முடியும் என்றால், புயல் நீண்ட காலமாக இருக்கும்போது, கடல் மீண்டும் தட்டையானது (: குறிப்பு: கெய்ன்ச், 1923 <கெய்ன்ச்_1923>).

பொருளாதாரத்தைப் போலவே, உளவியல் மற்றும் புள்ளிவிவரங்களிலும். மாதிரி சராசரியைக் கணக்கிடும்போது * இறுதியில் * சரியான பதிலை அடைவோம் என்பதை அறிந்து கொள்வது போதாது. எனது * உண்மையான * தரவுத் தொகுப்பில் * n * = 100 மாதிரி அளவு இருக்கும்போது, எண்ணற்ற பெரிய தரவுத் தொகுப்பு மக்கள்தொகையின் சரியான மதிப்பு குளிர்ச்சியான ஆறுதலாகும் என்பதை அறிவது. நிச வாழ்க்கையில், நாம் ஏதாவது தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மாதிரியின் நடத்தை மிகவும் மிதமான தரவு தொகுப்பிலிருந்து கணக்கிடப்படும்போது அர்த்தம்!

சராசரியின் மாதிரி வழங்கல்

இதைக் கருத்தில் கொண்டு, எங்கள் ஆய்வுகள் 10,000 மாதிரி அளவுகளைக் கொண்டிருக்கும் என்ற கருத்தை கைவிடுவோம், அதற்கு பதிலாக மிகவும் மிதமான பரிசோதனையை கருத்தில் கொள்வோம். இந்த நேரத்தில் நாங்கள் * n * = 5 நபர்களை மாதிரியாகக் கொண்டு அவர்களின் IQ மதிப்பெண்களை அளவிடுவோம். முன்பு போலவே, இந்த பரிசோதனையை சாமோவியில் உருவகப்படுத்த முடியும் `` = நார்ம் (100,15) `` செயல்பாடு, ஆனால் எனக்கு இந்த நேரத்தில் 5 பங்கேற்பாளர் ஐடிகள் மட்டுமே தேவை, 10,000 அல்ல. சமோவி உருவாக்கிய ஐந்து எண்கள் இவை:

90 82 94 99 110

இந்த மாதிரியில் உள்ள சராசரி ஐ.க்யூ சரியாக 95 ஆக மாறிவிடும். ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை, இது முந்தைய பரிசோதனையை விட மிகவும் துல்லியமானது. இப்போது நான் ** பிரதி ** சோதனை செய்ய முடிவு செய்தேன் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். அதாவது, நான் நடைமுறையை முடிந்தவரை நெருக்கமாக மீண்டும் சொல்கிறேன், நான் தோராயமாக 5 புதிய நபர்களை மாதிரியாகக் கொண்டு அவர்களின் IQ ஐ அளவிடுகிறேன். மீண்டும், இந்த நடைமுறையின் முடிவுகளை உருவகப்படுத்த சமோவி என்னை அனுமதிக்கிறார், மேலும் இந்த ஐந்து எண்களை உருவாக்குகிறார்:

78 88 111 111 117

இந்த நேரத்தில், எனது மாதிரியில் உள்ள சராசரி ஐ.க்யூ 101 ஆகும். நான் பரிசோதனையை 10 முறை மீண்டும் செய்தால், காட்டப்பட்டுள்ள முடிவுகளைப் பெறுகிறேன்: எண்ரெஃப்: தாவல்-பிரதிபலிப்புகள், மற்றும் மாதிரி சராசரி ஒரு நகலெடுப்பிலிருந்து அடுத்ததாக மாறுபடும் .

Table 8 IQ பரிசோதனையின் பத்து பிரதிகள், ஒவ்வொன்றும் * n * = 5 மாதிரி அளவு

நபர் 1

நபர் 2

நபர் 3

ஆளுமை 4

ஆளுமை 5

மாதிரி சராசரி

பிரதி 1

90

82

94

99

110

95.0

பிரதி 2

78

88

111

111

117

101.0

பிரதி 3

111

122

91

98

86

101.6

பிரதி 4

98

96

119

99

107

103.8

பிரதி 5

105

113

103

103

98

104.4

பிரதி 6

81

89

93

85

114

92.4

பிரதி 7

100

93

108

98

133

106.4

பிரதி 8

107

100

105

117

85

102.8

பிரதி 9

86

119

108

73

116

100.4

பிரதி 10

95

126

112

120

76

105.8

இப்போது நான் இந்த பாணியில் தொடர்ந்து செல்ல முடிவு செய்தேன் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இந்த “ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள்” பரிசோதனையை மீண்டும் மீண்டும் பிரதிபலிக்கிறேன். ஒவ்வொரு முறையும் நான் பரிசோதனையை நகலெடுக்கும்போது மாதிரி சராசரியை எழுதுகிறேன். காலப்போக்கில், நான் ஒரு புதிய தரவுத் தொகுப்பை சேகரிப்பேன், அதில் ஒவ்வொரு பரிசோதனையும் ஒரு தரவு புள்ளியை உருவாக்குகிறது. எனது தரவு தொகுப்பிலிருந்து முதல் 10 அவதானிப்புகள் மாதிரி வழிமுறைகள் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன: NUMREF: TAB-REPLICATIONS, எனவே எனது தரவு தொகுப்பு இப்படி தொடங்குகிறது:

95.0 101.0 101.6 103.8 104.4 …

10,000 பிரதிகளுக்கு நான் இப்படி தொடர்ந்தால், பின்னர் ஒரு இச்டோகிராம் வரைந்தால். அதுதான் நான் செய்தேன், நீங்கள் முடிவுகளை இங்கே காணலாம்: numref: Fig-samplingdist4. இந்த படம் விளக்குவது போல, 5 ஐ.க்யூ மதிப்பெண்களின் சராசரி வழக்கமாக 90 முதல் 110 வரை இருக்கும். ஆனால் மிக முக்கியமாக, அது சிறப்பம்சமாக இருப்பது என்னவென்றால், ஒரு பரிசோதனையை மீண்டும் மீண்டும் நகலெடுத்தால், நாம் முடிவடைவது மாதிரி வழிமுறையாகும் ! இந்த வழங்கல் புள்ளிவிவரங்களில் ஒரு சிறப்புப் பெயரைக் கொண்டுள்ளது, இது சராசரி ** மாதிரி வழங்கல் ** என்று அழைக்கப்படுகிறது.

மாதிரி விநியோகம்: “ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள் பரிசோதனைக்கு” சராசரி

Fig. 60 “ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள் பரிசோதனை” க்கான சராசரியின் மாதிரி விநியோகம்: நீங்கள் 5 பேரை சீரற்ற முறையில் மாதிரி செய்து அவர்களின் சராசரி ஐ.க்யூவை கணக்கிட்டால், நீங்கள் நிச்சயமாக 80 முதல் 120 வரை ஒரு எண்ணைப் பெறுவீர்கள், இருப்பினும் நிறைய தனிநபர்கள் இருந்தபோதிலும் 120 அல்லது 80 க்கு மேல் IQ கள் உள்ளன. ஒப்பிடுகையில், கருப்பு வரி IQ மதிப்பெண்களின் மக்கள்தொகை விநியோகத்தை திட்டமிடுகிறது.

மாதிரி விநியோகங்கள் புள்ளிவிவரங்களில் மற்றொரு முக்கியமான தத்துவார்த்த யோசனையாகும், மேலும் சிறிய மாதிரிகளின் நடத்தையைப் புரிந்துகொள்வதற்கு அவை முக்கியமானவை. உதாரணமாக, நான் முதல் “ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள்” பரிசோதனையை இயக்கியபோது, மாதிரி சராசரி 95 ஆக மாறியது. மாதிரி வழங்கல் என்ன: எண்: அத்தி-மாதிரி டிச்ட் 4 நமக்குச் சொல்கிறது, இருப்பினும்,“ ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள் ”சோதனை மிகவும் துல்லியமாக இல்லை. நான் பரிசோதனையை மீண்டும் செய்தால், மாதிரி வழங்கல் 80 முதல் 120 வரை எங்கும் ஒரு மாதிரியைக் காணலாம் என்று எதிர்பார்க்கலாம் என்று கூறுகிறது.

எந்தவொரு மாதிரி புள்ளிவிவரத்திற்கும் மாதிரி விநியோகங்கள் உள்ளன!

மாதிரி விநியோகங்களைப் பற்றி சிந்திக்கும்போது நினைவில் கொள்ள வேண்டிய ஒரு சேதி என்னவென்றால், நீங்கள் கணக்கிட நீங்கள் விரும்பும் எந்த * மாதிரி புள்ளிவிவரமும் மாதிரி விநியோகத்தைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒவ்வொரு முறையும் நான் “ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள்” பரிசோதனையை பிரதிபலித்தேன், பரிசோதனையில் மிகப்பெரிய ஐ.க்யூ மதிப்பெண்ணை எழுதினேன். இது இதுபோன்று தொடங்கிய தரவுத் தொகுப்பை எனக்குத் தரும்:

110 117 122 119 113 …

இதை மீண்டும் மீண்டும் செய்வது எனக்கு மிகவும் மாறுபட்ட மாதிரி விநியோகத்தை அளிக்கும், அதாவது அதிகபட்சம் *மாதிரி வழங்கல் *. அதிகபட்சம் 5 IQ மதிப்பெண்களின் மாதிரி வழங்கல் இதில் காட்டப்பட்டுள்ளது: NumRef: Fig-samplingdistmax. ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை, நீங்கள் 5 பேரை சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுத்து, அதிக ஐ.க்யூ மதிப்பெண்ணைக் கொண்ட நபரைக் கண்டறிந்தால், அவர்கள் சராசரியாக IQ ஐக் கொண்டிருக்கப் போகிறார்கள். 100 முதல் 140 வரம்பில் ஐ.க்யூ அளவிடப்பட்ட ஒருவருடன் நீங்கள் முடிவடையும்.

மாதிரி விநியோகம்: “ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள் பரிசோதனைக்கு” அதிகபட்சம்

Fig. 61 “ஐந்து ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள் பரிசோதனைக்கான” அதிகபட்ச மாதிரி விநியோகம்: நீங்கள் 5 பேரை சீரற்ற முறையில் மாதிரி செய்து, அதிக ஐ.க்யூ மதிப்பெண்ணுடன் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்தால், 100 முதல் 140 வரை ஐ.க்யூ கொண்ட ஒருவரைப் பார்ப்பீர்கள்.

மைய வரம்பு தேற்றம்

இந்த கட்டத்தில் மாதிரி வழங்கல் என்றால் என்ன என்பதில் உங்களுக்கு நல்ல உணர்வு இருப்பதாக நான் நம்புகிறேன், குறிப்பாக சராசரியின் மாதிரி வழங்கல் என்ன. இந்த பிரிவில், மாதிரி அளவின் மாதிரி வழங்கல் மாதிரி அளவின் செயல்பாடாக எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைப் பற்றி பேச விரும்புகிறேன். உள்ளுணர்வாக, பதிலின் ஒரு பகுதியை நீங்கள் ஏற்கனவே அறிவீர்கள். உங்களிடம் சில அவதானிப்புகள் மட்டுமே இருந்தால், மாதிரி சராசரி மிகவும் துல்லியமாக இருக்கக்கூடும். நீங்கள் ஒரு சிறிய பரிசோதனையைப் பிரதிபலித்து, சராசரியை மீண்டும் கணக்கிட்டால், நீங்கள் மிகவும் வித்தியாசமான பதிலைப் பெறுவீர்கள். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மாதிரி வழங்கல் மிகவும் அகலமானது. நீங்கள் ஒரு பெரிய பரிசோதனையைப் பிரதிபலித்து, மாதிரியை மீண்டும் கணக்கிட்டால், கடைசியாக உங்களுக்கு கிடைத்த அதே பதிலை நீங்கள் பெறுவீர்கள், எனவே மாதிரி வழங்கல் மிகவும் குறுகியதாக இருக்கும். இதை நீங்கள் பார்வைக்கு காணலாம்: numref: Fig-samplingdistdiffn, மாதிரி அளவு பெரியது, மாதிரி வழங்கல் குறுகியது என்பதைக் காட்டுகிறது. மாதிரி விநியோகத்தின் நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இந்த விளைவை நாம் அளவிட முடியும், இது ** நிலையான பிழை ** என குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு புள்ளிவிவரத்தின் நிலையான பிழை பெரும்பாலும் SE ஐக் குறிக்கின்றன, மேலும் மாதிரியின் நிலையான பிழையில் நாங்கள் வழக்கமாக ஆர்வமாக இருப்பதால் *சராசரி *, நாங்கள் பெரும்பாலும் SEM என்ற சுருக்கத்தை பயன்படுத்துகிறோம். படத்தைப் பார்ப்பதன் மூலம் நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மாதிரி அளவு * n * அதிகரிக்கும் போது, SEM குறைகிறது.

மாதிரி அளவின் சார்பு மாதிரி விநியோகத்தின் வடிவம்

Fig. 62 சராசரியின் மாதிரி வழங்கல் எவ்வாறு மாதிரி அளவைப் பொறுத்தது என்பதற்கான விளக்கம். ஒவ்வொரு குழுவிலும் நான் IQ தரவின் 10,000 மாதிரிகளை உருவாக்கி, இந்த ஒவ்வொரு தரவுத் தொகுப்புகளிலும் காணப்பட்ட சராசரி IQ ஐக் கணக்கிட்டேன். இந்த அடுக்குகளில் உள்ள இச்டோகிராம்கள் இந்த வழிமுறைகளின் விநியோகத்தைக் காட்டுகின்றன (அதாவது, சராசரியின் மாதிரி விநியோகம்). ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட ஐ.க்யூ மதிப்பெண்ணும் சராசரி 100 மற்றும் நிலையான விலகல் 15 உடன் சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்டது, இது திட கருப்பு கோட்டாக காட்டப்பட்டுள்ளது. இடது பேனலில், ஒவ்வொரு தரவுத் தொகுப்பிலும் ஒரே ஒரு அவதானிப்பு மட்டுமே உள்ளது, எனவே ஒவ்வொரு மாதிரியின் சராசரி ஒரு நபரின் ஐ.க்யூ மதிப்பெண் மட்டுமே. இதன் விளைவாக, சராசரியின் மாதிரி வழங்கல் நிச்சயமாக ஐ.க்யூ மதிப்பெண்களின் மக்கள்தொகை விநியோகத்திற்கு ஒத்ததாகும். இருப்பினும், நாம் மாதிரி அளவை 2 ஆக உயர்த்தும்போது (நடுத்தர குழு) எந்தவொரு மாதிரியின் சராசரி ஒரு நபரின் ஐ.க்யூ மதிப்பெண்ணைக் காட்டிலும் மக்கள்தொகைக்கு நெருக்கமாக இருக்கும், எனவே இச்டோகிராம் (அதாவது, மாதிரி விநியோகம்) சற்று குறுகியது மக்கள்தொகை விநியோகத்தை விட. மாதிரி அளவை 10 (வலது குழு) ஆக உயர்த்தும் நேரத்தில், மாதிரி வழிமுறைகளின் வழங்கல் உண்மையான மக்கள்தொகை சராசரியைச் சுற்றி மிகவும் இறுக்கமாக கொத்தாக இருப்பதைக் காணலாம்.

சரி, அது கதையின் ஒரு பகுதியாகும். இருப்பினும், நான் இதுவரை பளபளக்கிறேன். இந்த கட்டம் வரையிலான எனது எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளும் “ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள்” சோதனைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, மேலும் ஐ.க்யூ மதிப்பெண்கள் தோராயமாக விநியோகிக்கப்படுவதால், மக்கள் தொகை வழங்கல் சாதாரணமானது என்று கருதுகிறேன். இது பொதுவாக இல்லாவிட்டால் என்ன செய்வது? சராசரியின் மாதிரி விநியோகத்திற்கு என்ன நடக்கும்? குறிப்பிடத்தக்க சேதி என்னவென்றால், உங்கள் மக்கள்தொகை வழங்கல் எந்த வடிவமாக இருந்தாலும், * n * சராசரியின் மாதிரி விநியோகத்தை அதிகரிக்கிறது ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைப் போல தோற்றமளிக்கத் தொடங்குகிறது. இதை உங்களுக்கு உணர்த்துவதற்கு நான் சில உருவகப்படுத்துதல்களை நடத்தினேன். இதைச் செய்ய, இச்டோகிராமில் காட்டப்பட்டுள்ள “ரேம்ப்ட்” விநியோகத்துடன் தொடங்கினேன்: எண்ரெஃப்: அத்தி-க்ளிடெமோ (மேல்-இடது குழு). முக்கோண வடிவ இச்டோகிராம் கறுப்புக் கோட்டால் திட்டமிடப்பட்ட மணி வளைவுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மக்கள்தொகை வழங்கல் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைப் போலவே இல்லை. அடுத்து, அதிக எண்ணிக்கையிலான சோதனைகளின் முடிவுகளை நான் உருவகப்படுத்தினேன். ஒவ்வொரு பரிசோதனையிலும் நான் இந்த விநியோகத்திலிருந்து * n * = 2 மாதிரிகளை எடுத்து, பின்னர் மாதிரி சராசரியைக் கணக்கிட்டேன். . இந்த நேரத்தில், இச்டோகிராம் ஒரு ∩ வடிவ விநியோகத்தை உருவாக்குகிறது. இது இன்னும் பொதுவாக இல்லை, ஆனால் இது மக்கள்தொகை விநியோகத்தை விட கருப்பு கோட்டிற்கு மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளது: NUMREF: Fig-cltdemo (மேல்-இடது குழு). நான் மாதிரி அளவை * n * = 4 ஆக அதிகரிக்கும்போது, சராசரியின் மாதிரி வழங்கல் இயல்புக்கு மிக நெருக்கமாக உள்ளது (: numref: Fig-cltdemo, கீழ்-இடது குழு), மற்றும் அந்த நேரத்தில் நாம் ஒரு மாதிரி அளவை அடைகிறோம் . வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உங்கள் மாதிரி அளவு சிறியதாக இல்லாத வரை, உங்கள் மக்கள்தொகை வழங்கல் எப்படி இருந்தாலும் சராசரியின் மாதிரி வழங்கல் தோராயமாக இயல்பானதாக இருக்கும்!

நடு வரம்பு தேற்றத்தின் ஆர்ப்பாட்டம்

Fig. 63 நடு வரம்பு தேற்றத்தின் ஆர்ப்பாட்டம்: மேல்-இடது பேனலில், எங்களுக்கு இயல்பான மக்கள்தொகை வழங்கல் உள்ளது, மீதமுள்ள பேனல்கள் அளவு 2 (மேல்-வலது) மாதிரிகளுக்கான சராசரியின் மாதிரி விநியோகத்தைக் காட்டுகின்றன (கீழ்-இடது-இடது-இடது ) மற்றும் 8 (கீழ்-வலது) மேல்-இடது பேனலில் விநியோகத்திலிருந்து பெறப்பட்ட தரவுகளுக்கு. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் மக்கள்தொகை வழங்கல் இயல்பற்றதாக இருந்தாலும், சராசரியின் மாதிரி வழங்கல் உங்களுக்கு 4 அவதானிப்புகளின் மாதிரியைக் கொண்டிருக்கும் நேரத்தில் இயல்புக்கு மிக நெருக்கமாகிறது.

இந்த புள்ளிவிவரங்களின் அடிப்படையில், சராசரியின் மாதிரி வழங்கல் குறித்த பின்வரும் அனைத்து கூற்றுகளுக்கும் எங்களிடம் ஆதாரங்கள் இருப்பதாகத் தெரிகிறது.

  • மாதிரி விநியோகத்தின் சராசரி மக்கள்தொகையின் சராசரியைப் போன்றது

  • மாதிரி விநியோகத்தின் நிலையான விலகல் (அதாவது, நிலையான பிழை) மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது சிறியதாகிறது

  • மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும்போது மாதிரி விநியோகத்தின் வடிவம் இயல்பாகிவிடும்

அது நிகழும்போது, இந்த அறிக்கைகள் அனைத்தும் உண்மைதான் மட்டுமல்ல, புள்ளிவிவரங்களில் மிகவும் பிரபலமான தேற்றம் உள்ளது, அவை மூன்றையும் நிரூபிக்கின்றன, அவை ** நடு வரம்பு தேற்றம் ** என அழைக்கப்படுகின்றன. மற்றவற்றுடன், மக்கள்தொகை வழங்கல் சராசரி µ மற்றும் நிலையான விலகல் σ ஐக் கொண்டிருந்தால், சராசரியின் மாதிரி விநியோகமும் சராசரி µ மற்றும் சராசரியின் நிலையான பிழை உள்ளது என்று கூறுகிறது

\[\mbox{SEM} = \frac{\sigma}{ \sqrt{N} }\]

மாதிரி அளவின் சதுர மூலத்தால் மக்கள் தொகை தர விலகலை நாம் பிரிப்பதால் *n *, மாதிரி அளவு அதிகரிக்கும் போது SEM சிறியதாகிறது. மாதிரி விநியோகத்தின் வடிவம் பொதுவாக மாறும் என்றும் இது நமக்குச் சொல்கிறது. [#] _

இந்த முடிவு எல்லா வகையான விசயங்களுக்கும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். சிறியவற்றை விட பெரிய சோதனைகள் ஏன் நம்பகமானவை என்பதை இது நமக்குக் கூறுகிறது, மேலும் இது நிலையான பிழைக்கான வெளிப்படையான சூத்திரத்தை நமக்கு அளிப்பதால், ஒரு பெரிய சோதனை எவ்வளவு நம்பகமானது என்பதை இது நமக்குக் கூறுகிறது. சாதாரண வழங்கல் ஏன், *இயல்பானது *என்பதை இது நமக்குக் கூறுகிறது. உண்மையான சோதனைகளில், நாம் அளவிட விரும்பும் பல விசயங்கள் உண்மையில் பல்வேறு அளவுகளின் சராசரியாக இருக்கின்றன (எ.கா., ஐ.க்யூவால் அளவிடப்படும் “பொது” நுண்ணறிவு சராசரியாக அதிக எண்ணிக்கையிலான “குறிப்பிட்ட” திறன்கள் மற்றும் திறன்களின்), அது நிகழும்போது, சராசரி அளவு ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைப் பின்பற்ற வேண்டும். இந்த கணிதச் சட்டத்தின் காரணமாக, இயல்பான வழங்கல் உண்மையான தரவுகளில் மீண்டும் மீண்டும் தோன்றும்.