Section author: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft
சாதாரண வழங்கல்
பைனோமியல் வழங்கல் கருத்தியல் ரீதியாக புரிந்து கொள்ள எளிமையான விநியோகமாகும், இது மிக முக்கியமான ஒன்றல்ல. அந்த குறிப்பிட்ட மரியாதை ** இயல்பான வழங்கல் ** க்கு செல்கிறது, இது “பெல் வளைவு” அல்லது “காசியன் விநியோகம்” என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டு அளவுருக்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு சாதாரண வழங்கல் விவரிக்கப்படுகிறது: விநியோகத்தின் சராசரி µ மற்றும் விநியோகத்தின் நிலையான விலகல் σ.
ஒரு மாறி * ஃச் * பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று சொல்ல சில நேரங்களில் நாம் பயன்படுத்தும் குறியீடு பின்வருமாறு:
X ~ Normal(µ, σ)
நிச்சயமாக, அது குறியீடு மட்டுமே. சாதாரண விநியோகத்தைப் பற்றி சுவையான எதையும் இது எங்களிடம் சொல்லாது. பைனோமியல் விநியோகத்தைப் போலவே, இந்த புத்தகத்தில் இயல்பான விநியோகத்திற்கான சூத்திரத்தை நான் சேர்த்துள்ளேன், ஏனென்றால் புள்ளிவிவரங்களைக் கற்றுக் கொள்ளும் அனைவரும் குறைந்தபட்சம் அதைப் பார்க்க வேண்டும், ஆனால் இது ஒரு அறிமுக உரை என்பதால் நான் செய்யாத ஒரு அறிமுக உரை அதில் கவனம் செலுத்த விரும்புகிறேன், எனவே நான் அதை இழுத்துச் சென்றேன்: NumRef: தாவல்-முறைமைுலாச்.
Fig. 47 சராசரி μ = 0 மற்றும் நிலையான விலகல் σ = 1 உடன் இயல்பான வழங்கல். எக்ச்-அச்சு சில மாறியின் மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது, மேலும் அந்த மதிப்பை நாம் கவனிக்க எவ்வளவு சாத்தியம் என்பது பற்றி Y- அச்சு நமக்கு ஏதாவது சொல்கிறது. இருப்பினும், Y- அச்சு "நிகழ்தகவு அடர்த்தி" என்று பெயரிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் "நிகழ்தகவு" அல்ல என்பதைக் கவனியுங்கள். தொடர்ச்சியான விநியோகங்களின் நுட்பமான மற்றும் சற்றே வெறுப்பூட்டும் பண்பு உள்ளது, இது ஒய் அச்சு சற்று வித்தியாசமாக செயல்படுகிறது: இங்குள்ள வளைவின் உயரம் உண்மையில் ஒரு குறிப்பிட்ட ஃச் மதிப்பைக் கவனிப்பதற்கான நிகழ்தகவு அல்ல. மறுபுறம், வளைவின் உயரங்கள் எந்த ஃச் மதிப்புகள் அதிகம் என்று உங்களுக்குக் கூறுகிறது என்பது உண்மைதான் (உயர்ந்தவை!; காண்க: குறிப்பு: நிகழ்தகவு அடர்த்தி <நிகழ்தகவு_டிசென்சிட்டி> எரிச்சலூட்டும் அனைத்து விவரங்களுக்கும்).
கணிதத்தில் கவனம் செலுத்துவதற்குப் பதிலாக, ஒரு மாறி பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுவதற்கு என்ன பொருள் என்பதைப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிப்போம். அதற்காக, பாருங்கள்: NUMREF: FightardardNormal இது சராசரி µ = 0 மற்றும் நிலையான விலகல் σ = 1 உடன் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைத் திட்டமிடுகிறது.“ பெல் வளைவு ”என்ற பெயர் எங்கிருந்து வருகிறது என்பதை நீங்கள் காணலாம்; இது ஒரு மணி போல் தெரிகிறது. பைனோமியல் விநியோகத்தை விளக்குவதற்கு நான் வரைந்த அடுக்குகளைப் போலல்லாமல், சாதாரண விநியோகத்தின் படம்: எண்ரெஃப்: ஃபிக்-ச்டாண்டார்ட்நார்மல்“ இச்டோகிராம் போன்ற ”பார்களுக்கு பதிலாக ஒரு மென்மையான வளைவைக் காட்டுகிறது. இது ஒரு தன்னிச்சையான தேர்வு அல்ல, சாதாரண வழங்கல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது, அதே நேரத்தில் பைனோமியல் தனித்துவமானது. உதாரணமாக, கடைசி பகுதியிலிருந்து டை ரோலிங் எடுத்துக்காட்டில் 3 மண்டை ஓடுகள் அல்லது 4 மண்டை ஓடுகள் பெற முடிந்தது, ஆனால் 3.9 மண்டை ஓடுகளைப் பெற இயலாது. முந்தைய பிரிவில் நான் வரைந்த புள்ளிவிவரங்கள் இந்த உண்மையை பிரதிபலித்தன. இல்: NUMREF: FIG-BINOMSKULLS20, உதாரணமாக, * ஃச் * = 3 இல் ஒரு பட்டி உள்ளது, மேலும் * ஃச் * = 4 என்ற இடத்தில் உள்ளது, ஆனால் இடையில் எதுவும் இல்லை. தொடர்ச்சியான அளவுகளுக்கு இந்த கட்டுப்பாடு இல்லை. உதாரணமாக, நாங்கள் வானிலை பற்றி பேசுகிறோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒரு இனிமையான வசந்த நாளில் வெப்பநிலை 23 டிகிரி, 24 டிகிரி, 23.9 டிகிரி அல்லது இடையில் எதையும் வெப்பநிலை தொடர்ச்சியான மாறி | தொடர்ச்சியான | ஆக இருக்கலாம். எனவே வசந்த வெப்பநிலையை விவரிக்க ஒரு சாதாரண வழங்கல் மிகவும் பொருத்தமானதாக இருக்கலாம். [#] _
Fig. 48 ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் சராசரியை மாற்றும்போது என்ன நடக்கும் என்பதற்கான விளக்கம். திடமான வரி μ = 4 சராசரியுடன் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தை சித்தரிக்கிறது. கோடு வரி μ = 7 சராசரியுடன் ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைக் காட்டுகிறது. இரண்டு நிகழ்வுகளிலும், நிலையான விலகல் σ = 1 ஆகும். ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை, இரண்டு விநியோகங்களும் உள்ளன அதே வடிவம், ஆனால் கோடு கோடு வலதுபுறமாக மாற்றப்படுகிறது.
இதைக் கருத்தில் கொண்டு, சாதாரண வழங்கல் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதற்கான உள்ளுணர்வைப் பெற முடியவில்லையா என்று பார்ப்போம். முதலில், விநியோகத்தின் அளவுருக்களுடன் நாம் விளையாடும்போது என்ன நடக்கும் என்பதைப் பார்ப்போம். அதற்காக,: numref: Fig-meanshiftnormal வெவ்வேறு வழிமுறைகளைக் கொண்ட சாதாரண விநியோகங்களை அடுக்குகிறது, ஆனால் அதே நிலையான விலகலைக் கொண்டுள்ளது. நீங்கள் எதிர்பார்ப்பது போல, இந்த விநியோகங்கள் அனைத்தும் ஒரே “அகலம்” கொண்டவை. அவற்றுக்கிடையேயான ஒரே வேறுபாடு என்னவென்றால், அவை இடது அல்லது வலதுபுறம் மாற்றப்பட்டுள்ளன. மற்ற எல்லா விசயங்களிலும் அவை ஒரே மாதிரியானவை. இதற்கு நேர்மாறாக, சராசரி மாறிலியைக் கொண்டிருக்கும்போது நிலையான விலகலை நாம் அதிகரித்தால், விநியோகத்தின் உச்சம் ஒரே இடத்தில் இருக்கும், ஆனால் வழங்கல் அகலமாகிறது, நீங்கள் காணக்கூடியது: numref: Fig-scaleshiftnormal.
Fig. 49 ஒரு சாதாரண விநியோகத்தின் நிலையான விலகலை மாற்றும்போது என்ன நடக்கும் என்பதற்கான விளக்கம். இந்த எண்ணிக்கையில் திட்டமிடப்பட்ட இரண்டு விநியோகங்களும் μ = 5 சராசரியைக் கொண்டுள்ளன, ஆனால் அவை வெவ்வேறு நிலையான விலகல்களைக் கொண்டுள்ளன. திடமான வரி நிலையான விலகல் σ = 1 உடன் ஒரு விநியோகத்தைத் திட்டமிடுகிறது, மற்றும் கோடு கோடு நிலையான விலகல் σ = 2 உடன் ஒரு விநியோகத்தைக் காட்டுகிறது. இதன் விளைவாக, இரண்டு விநியோகங்களும் ஒரே இடத்தில் “மையமாக” உள்ளன, ஆனால் கோடு கோடு விட அகலமானது திட ஒன்று.
இருப்பினும், நாம் விநியோகத்தை விரிவுபடுத்தும்போது உச்சத்தின் உயரம் சுருங்குகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள். இது நடக்க வேண்டும், அதேபோல் ஒரு தனித்துவமான பைனோமியல் விநியோகத்தை வரைய நாங்கள் பயன்படுத்திய பட்டிகளின் உயரங்கள் * முதல் 1 வரை இருக்க வேண்டும், வளைவின் கீழ் உள்ள மொத்த * பகுதி * சாதாரண விநியோகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். நகரும் முன். ஆன், சாதாரண விநியோகத்தின் ஒரு முக்கியமான பண்புகளை நான் சுட்டிக்காட்ட விரும்புகிறேன். உண்மையான சராசரி மற்றும் நிலையான விலகல் என்ன என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், பகுதியின் 68.3 % சராசரியின் 1 நிலையான விலகலுக்குள் வருகிறது. இதேபோல், விநியோகத்தின் 95.4 % சராசரியின் 2 நிலையான விலகல்களுக்குள் வருகிறது, மேலும் விநியோகத்தின் 99.7 % 3 நிலையான விலகல்களுக்குள் உள்ளது. இந்த சிந்தனை இதில் விளக்கப்பட்டுள்ளது: NumRef: Figh-normareasd.
Fig. 50 வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதி ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பிற்குள் ஒரு அவதானிப்பு விழும் நிகழ்தகவை உங்களுக்குக் கூறுகிறது. திடமான கோடுகள் சராசரி μ = 0 மற்றும் நிலையான விலகல் σ = 1 உடன் சாதாரண விநியோகங்களை சூழ்ச்சி செய்கின்றன. நிழலாடிய பகுதிகள் இரண்டு முக்கியமான நிகழ்வுகளுக்கு “வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதிகள்” விளக்குகின்றன. இடது பேனலில், சராசரியின் ஒரு நிலையான விலகலுக்குள் ஒரு கண்காணிப்பு விழும் 68.3 % வாய்ப்பு இருப்பதை நாம் காணலாம். வலது குழுவில், சராசரியின் இரண்டு நிலையான விலகல்களுக்குள் ஒரு கண்காணிப்பு விழும் 95.4 % வாய்ப்பு இருப்பதைக் காண்கிறோம்.
Fig. 51 “வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதி” யோசனையின் மேலும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள். ஒரு அவதானிப்பு என்பது சராசரி அல்லது சிறிய (இடது குழு) க்குக் கீழே ஒரு நிலையான விலகல் என்பதற்கு 15.9 % வாய்ப்பு உள்ளது, மேலும் 34.1 % அவதானிப்பு சராசரி மற்றும் சராசரி (வலது குழு) கீழே ஒரு நிலையான விலகலுக்கு இடையில் எங்காவது உள்ளது. இந்த இரண்டு எண்களையும் ஒன்றாகச் சேர்த்தால் 15.9 % + 34.1 % = 50 % கிடைக்கும் என்பதை கவனியுங்கள். பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கு, ஒரு அவதானிப்பு சராசரிக்கு கீழே விழும் 50 % வாய்ப்பு உள்ளது. நிச்சயமாக இது 50 % வாய்ப்பு உள்ளது என்பதையும் இது குறிக்கிறது.
நிகழ்தகவு அடர்த்தி
சாதாரண வழங்கல் குறித்த எனது விவாதம் முழுவதும் நான் மறைக்க முயற்சிக்கிறேன், சில அறிமுக பாடப்புத்தகங்கள் முற்றிலும் தவிர்க்கப்படுகின்றன. அவர்கள் அவ்வாறு செய்வது சரியாக இருக்கலாம். நான் மறைக்கும் இந்த “விசயம்” புள்ளிவிவரங்களில் பொருந்தக்கூடிய ஒப்புக்கொள்ளப்பட்ட சிதைந்த தரங்களால் கூட வித்தியாசமானது மற்றும் எதிர்-உள்ளுணர்வு. அதிர்ச்டவசமாக, அடிப்படை புள்ளிவிவரங்களைச் செய்ய நீங்கள் ஆழமான மட்டத்தில் புரிந்து கொள்ள வேண்டிய ஒன்று அல்ல. மாறாக, நீங்கள் அடிப்படைகளுக்கு அப்பால் செல்லும்போது பின்னர் முக்கியத்துவம் பெறத் தொடங்கும் ஒன்று இது. எனவே, இது முழுமையான அர்த்தத்தைத் தரவில்லை என்றால், அதிகம் கவலைப்பட வேண்டாம், ஆனால் அதன் சுருக்கத்தை நீங்கள் பின்பற்றுகிறீர்கள் என்பதை உறுதிப்படுத்த முயற்சிக்கவும்.
சாதாரண வழங்கல் பற்றிய எனது கலந்துரையாடல் முழுவதும் ஒன்று அல்லது இரண்டு விசயங்கள் மிகவும் அர்த்தமல்ல. இந்த புள்ளிவிவரங்களில் உள்ள *y *-axis “அடர்த்தி” என்பதை விட “நிகழ்தகவு அடர்த்தி” என்று பெயரிடப்பட்டிருப்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம். சாதாரண விநியோகத்திற்கான சூத்திரத்தை வழங்கும்போது *p *(x) க்கு பதிலாக *p *(x) ஐப் பயன்படுத்துவதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம்.
இது மாறிவிட்டால், இங்கே வழங்கப்படுவது உண்மையில் நிகழ்தகவு அல்ல, இது வேறு சேதி. எதையாவது புரிந்து கொள்ள, * ஃச் * ஒரு தொடர்ச்சியான மாறி | தொடர்ச்சியான | என்று சொல்வதற்கு உண்மையில் என்ன * பொருள் * என்று சிந்திக்க சிறிது நேரம் செலவிட வேண்டும். வெளியில் வெப்பநிலையைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்று சொல்லலாம். இது 23 டிகிரி என்று தெர்மோமீட்டர் என்னிடம் கூறுகிறது, ஆனால் அது உண்மையில் உண்மை இல்லை என்று எனக்குத் தெரியும். இது * சரியாக * 23 டிகிரி இல்லை. ஒருவேளை அது .1 23.1 டிகிரி, நானே நினைக்கிறேன். ஆனால் அது உண்மையில் 23.09 டிகிரியாக இருக்கலாம் என்பதால் அது உண்மையில் உண்மை இல்லை என்று எனக்குத் தெரியும். ஆனால் எனக்கு அது தெரியும்… நன்றாக, உங்களுக்கு சிந்தனை கிடைக்கும். உண்மையான தொடர்ச்சியான அளவுகளுடன் தந்திரமான சேதி என்னவென்றால், அவை என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியாது.
இப்போது நாம் நிகழ்தகவுகளைப் பற்றி பேசும்போது இது எதைக் குறிக்கிறது என்பதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள். சராசரி அதிகபட்ச வெப்பநிலை சராசரி 23 மற்றும் நிலையான விலகல் 1 உடன் சாதாரண விநியோகத்திலிருந்து மாதிரியாக உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். வெப்பநிலை * சரியாக * 23 டிகிரியாக இருக்கும் நிகழ்தகவு என்ன? பதில் “பூச்சியம்”, அல்லது “பூச்சியத்திற்கு மிக நெருக்கமான ஒரு எண் அது பூச்சியமாகவும் இருக்கலாம்”. இது ஏன்? இது எண்ணற்ற சிறிய டார்ட் போர்டில் ஒரு டார்ட்டை வீச முயற்சிப்பது போன்றது. உங்கள் நோக்கம் எவ்வளவு நல்லதாக இருந்தாலும், நீங்கள் அதை ஒருபோதும் அடிக்க மாட்டீர்கள். நிச வாழ்க்கையில் நீங்கள் ஒருபோதும் சரியாக 23 மதிப்பைப் பெற மாட்டீர்கள். இது எப்போதும் 23.1 அல்லது 22.99998 அல்லது போன்றதாக இருக்கும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வெப்பநிலை சரியாக 23 டிகிரி என்ற நிகழ்தகவைப் பற்றி பேசுவது முற்றிலும் அர்த்தமற்றது. இருப்பினும், அன்றாட மொழியில் 23 டிகிரி வெளியே இருப்பதாக நான் சொன்னால், அது 22.9998 டிகிரி என்று மாறியது, நீங்கள் என்னை ஒரு பொய்யர் என்று அழைக்க மாட்டீர்கள். ஏனெனில் அன்றாட மொழியில் “23 டிகிரி” பொதுவாக “22.5 முதல் 23.5 டிகிரி வரை எங்காவது” போன்றது. வெப்பநிலை சரியாக 23 டிகிரி என்ற நிகழ்தகவு பற்றி கேட்பது மிகவும் அர்த்தமுள்ளதாக உணரவில்லை என்றாலும், வெப்பநிலை 22.5 முதல் 23.5 வரை, அல்லது 20 முதல் 30 வரை அல்லது வேறு எந்த வரம்பிற்கும் இடையில் இருக்கும் நிகழ்தகவு பற்றி கேட்பது விவேகமானதாகத் தெரிகிறது வெப்பநிலை.
இந்த விவாதத்தின் புள்ளி என்னவென்றால், தொடர்ச்சியான விநியோகங்களைப் பற்றி நாம் பேசும்போது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் நிகழ்தகவு பற்றி பேசுவது அர்த்தமல்ல என்பதை தெளிவுபடுத்துவதாகும். எவ்வாறாயினும், மதிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான மதிப்புகளுக்குள் இருக்கும் நிகழ்தகவு. ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்போடு தொடர்புடைய நிகழ்தகவைக் கண்டறிய நீங்கள் செய்ய வேண்டியது “வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதியை” கணக்கிடுவதாகும். இந்த கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே பார்த்திருக்கிறோம், இல்: எண்ரெஃப்: அத்தி-நார்மாரெச்ட்ட் காட்டப்பட்டுள்ள நிழலாடிய பகுதிகள் உண்மையான நிகழ்தகவுகளை சித்தரிக்கின்றன (எ.கா., இடது குழுவில்: எண்ரெஃப்:` அத்தி-நார்மாரெச்டி` இது விழும் மதிப்பைக் கவனிப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காட்டுகிறது சராசரியின் 1 நிலையான விலகலுக்குள்).
சரி, அது கதையின் ஒரு பகுதியை விளக்குகிறது. தொடர்ச்சியான நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் எவ்வாறு விளக்கப்பட வேண்டும் என்பது பற்றி நான் கொஞ்சம் விளக்கினேன் (அதாவது, வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதி முக்கிய விசயம்). ஆனால் நான் முன்பு விவரித்த பி *(எக்ச்) க்கான தேற்றம் உண்மையில் என்ன அர்த்தம்? வெளிப்படையாக, பி(எக்ச்) ஒரு நிகழ்தகவை விவரிக்கவில்லை, ஆனால் அது என்ன? இந்த அளவுக்கான பெயர்*p*(x) ஒரு ** நிகழ்தகவு அடர்த்தி **, மற்றும் அடுக்குகளின் அடிப்படையில் நாம் வரைந்து கொண்டிருக்கிறோம், இது வளைவின்*உயரத்திற்கு*ஒத்திருக்கிறது. அடர்த்திகள் தங்களுக்குள் அர்த்தமுள்ளதாக இல்லை, ஆனால் வளைவின் கீழ் உள்ள * பகுதி எப்போதும் உண்மையான நிகழ்தகவுகளாக விளக்கக்கூடியது என்பதை உறுதிப்படுத்த அவர்கள் “மோசடி” செய்கிறார்கள். உண்மையைச் சொல்வதானால், நீங்கள் இப்போது தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அளவுக்கு இது. [#] _