Section author: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft
பைனோமியல் வழங்கல்
நீங்கள் நினைத்தபடி, நிகழ்தகவு விநியோகங்கள் மகத்தான முறையில் வேறுபடுகின்றன, மேலும் ஏராளமான விநியோகங்கள் உள்ளன. இருப்பினும், அவை அனைத்தும் சமமாக முக்கியமல்ல. உண்மையில், இந்த புத்தகத்தில் உள்ள உள்ளடக்கத்தின் பெரும்பகுதி ஐந்து விநியோகங்களில் ஒன்றை நம்பியுள்ளது: பைனோமியல் வழங்கல், இயல்பான வழங்கல், *t *-விநியோகம், χ²-விநியோக (சி-சதுர) மற்றும் *f *--டிச்ட்ரிபியூசன் . இதைக் கருத்தில் கொண்டு, அடுத்த சில பிரிவுகளில் நான் என்ன செய்வேன் என்பது இவை இரண்டிற்கும் ஒரு சுருக்கமான அறிமுகத்தை வழங்குவதாகும், இது பைனோமியல் மற்றும் இயல்பானவற்றுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்துகிறது. இது ஐந்து பேரில் எளிமையானது என்பதால் நான் பைனோமியல் விநியோகத்துடன் தொடங்குவேன்.
பைனோமியல் அறிமுகப்படுத்துகிறது
நிகழ்தகவு கோட்பாடு, வாய்ப்பு விளையாட்டுகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை விவரிக்கும் முயற்சியில் தோன்றின, எனவே ** பைனோமியல் வழங்கல் ** பற்றிய எங்கள் விவாதம் பகடை உருட்டல் மற்றும் நாணயங்களை புரட்டுவது பற்றிய விவாதத்தை உள்ளடக்கியதாக இருக்க வேண்டும் என்பது பொருத்தமாகத் தெரிகிறது. ஒரு எளிய “பரிசோதனையை” கற்பனை செய்யலாம். என் சூடான சிறிய கையில் நான் 20 ஒத்த ஆறு பக்க பகடைகளை வைத்திருக்கிறேன். ஒவ்வொரு இறப்பின் ஒரு முகத்திலும் ஒரு மண்டை ஓட்டின் படம் உள்ளது, மற்ற ஐந்து முகங்கள் அனைத்தும் காலியாக உள்ளன. நான் 20 டைசையும் உருட்டிக்கொண்டால், சரியாக 4 மண்டை ஓடுகள் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு என்ன? பகடை நியாயமானது என்று கருதி, எந்தவொரு இறப்புக்கும் மண்டை ஓடுகள் வருவதற்கான வாய்ப்பு 6 இல் 1 ஆகும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம். இதை வேறு வழியில் சொல்ல, ஒரு இறப்புக்கான மண்டை ஓடு நிகழ்தகவு தோராயமாக 0.167 ஆகும். எங்கள் கேள்விக்கு பதிலளிக்க இது போதுமான செய்தி, எனவே இது எவ்வாறு முடிந்தது என்பதைப் பார்ப்போம்.
Binomial |
Normal |
|---|---|
\(P(X \ | \ \theta, N) = \displaystyle\frac{N!}{X! (N-X)!} \theta^X (1-\theta)^{N-X}\) |
\(p(X \ | \ \mu, \sigma) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left( -\frac{(X - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)\) |
வழக்கம் போல், சில பெயர்களையும் சில குறியீடுகளையும் அறிமுகப்படுத்த விரும்புகிறோம். எங்கள் பரிசோதனையில் டைச் ரோல்களின் எண்ணிக்கையை*n*குறிக்க அனுமதிப்போம், இது பெரும்பாலும் எங்கள் பைனோமியல் விநியோகத்தின் ** அளவு அளவுரு ** என குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு இறப்பு மண்டை ஓடுகள் வரும் நிகழ்தகவைக் குறிக்க*θ*ஐப் பயன்படுத்துவோம், இது வழக்கமாக பைனோமியலின் ** செய் நிகழ்தகவு ** என்று அழைக்கப்படுகிறது. [#] _ இறுதியாக, நாங்கள் பயன்படுத்துவோம் * X* எங்கள் பரிசோதனையின் முடிவுகளைக் குறிக்க, அதாவது நான் பகடைகளை உருட்டும்போது எனக்கு கிடைக்கும் மண்டை ஓடுகளின் எண்ணிக்கை. X*இன் உண்மையான மதிப்பு இருப்பதால், அதை * சீரற்ற மாறி ** என்று குறிப்பிடுகிறோம். எவ்வாறாயினும், இப்போது இந்த சொற்களும் குறியீடும் எங்களிடம் இருப்பதால், பிரச்சினையை இன்னும் கொஞ்சம் துல்லியமாகக் குறிப்பிட இதைப் பயன்படுத்தலாம். நாம் கணக்கிட விரும்பும் அளவு * ஃச் * = 4 நிகழ்தகவு ஆகும், ஏனெனில் * θ * = 0.167 மற்றும் * n * = 20. நான் கணக்கிடுவதில் ஆர்வமுள்ள விசயத்தின் பொதுவான “வடிவம்” எழுதப்படலாம் என
P(X | θ, N)
and we’re interested in the special case where X = 4, θ = 0.167 and N = 20. There’s only one more piece of notation I want to refer to before moving on to discuss the solution to the problem. If I want to say that X is generated randomly from a binomial distribution with parameters θ and N, the notation I would use is as follows:
X ~ Binomial(θ, N)
ஆம், ஆம். நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள் என்று எனக்குத் தெரியும்: குறியீடு, குறியீடு, குறியீடு. உண்மையில், யார் கவலைப்படுகிறார்கள்? இந்த புத்தகத்தின் மிகச் சில வாசகர்கள் இந்த குறியீட்டிற்காக இங்கே உள்ளனர், எனவே பைனோமியல் விநியோகத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் பற்றி நான் முன்னேறி பேச வேண்டும். பைனோமியல் விநியோகத்திற்கான சூத்திரத்தை நான் சேர்த்துக் கொண்டேன்: NumRef: தாவல்-முறைமுலாக்கள், சில வாசகர்கள் அதனுடன் விளையாட விரும்புவதால், ஆனால் பெரும்பாலான மக்கள் அவ்வளவு அக்கறை காட்டவில்லை என்பதால், எங்களுக்கு தேவையில்லை என்பதால் ஃபார்முலா இந்த புத்தகத்தில், நான் அதைப் பற்றி எந்த விவரத்திலும் பேச மாட்டேன். அதற்கு பதிலாக, பைனோமியல் வழங்கல் எப்படி இருக்கும் என்பதை நான் உங்களுக்குக் காட்ட விரும்புகிறேன்.
Fig. 45 Binomial distribution with size parameter of N = 20 and an underlying success probability of θ = 1/6. Each vertical bar depicts the probability of one specific outcome (i.e., one possible value of X). Because this is a probability distribution, each of the probabilities must be a number between 0 and 1, and the heights of the bars must sum to 1 as well.
அதற்காக,: numref: Fig-Binomskulls20 எங்கள் பகடை உருட்டல் பரிசோதனைக்கு * ஃச் * இன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பைனோமியல் நிகழ்தகவுகளைத் திட்டமிடுகிறது, * ஃச் * = 0 (மண்டை ஓடுகள் இல்லை) * ஃச் * = 20 வரை (அனைத்து மண்டை ஓடுகளும்). இது அடிப்படையில் ஒரு பார் விளக்கப்படம் என்பதை நினைவில் கொள்க, மேலும் நான் வரைந்த “கால்சட்டை நிகழ்தகவு” சதித்திட்டத்திற்கு வேறுபட்டதல்ல: NumRef: Fig-pantsdistribution. கிடைமட்ட அச்சில் நம்மிடம் சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளும் உள்ளன, மேலும் செங்குத்து அச்சில் அந்த ஒவ்வொரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவையும் நாம் படிக்கலாம். எனவே, 20 இல் 4 மண்டை ஓடுகளை உருட்டுவதற்கான நிகழ்தகவு சுமார் 0.20 ஆகும் (உண்மையான பதில் 0.2022036 ஆகும், ஏனெனில் நாம் ஒரு கணத்தில் பார்ப்போம்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த பரிசோதனையை நீங்கள் மீண்டும் செய்த 20 % நேரங்கள் நடக்கும் என்று நீங்கள் எதிர்பார்க்கிறீர்கள்.
*Θ *மற்றும் *n *இன் மதிப்புகளை மாற்றும்போது பைனோமியல் வழங்கல் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதற்கான உணர்வை உங்களுக்கு வழங்க, பகடைகளை உருட்டுவதற்குப் பதிலாக நான் உண்மையில் நாணயங்களை புரட்டுகிறேன் என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த நேரத்தில், எனது பரிசோதனையில் ஒரு நியாயமான நாணயத்தை மீண்டும் மீண்டும் புரட்டுவது அடங்கும், மேலும் நான் ஆர்வமாக இருக்கும் விளைவு நான் கவனிக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை. இந்த சூழ்நிலையில், செய் நிகழ்தகவு இப்போது * θ * = 1/2 ஆகும். நான் நாணயத்தை புரட்ட வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் * n * = 20 முறை. இந்த எடுத்துக்காட்டில், நான் செய் நிகழ்தகவை மாற்றியுள்ளேன், ஆனால் பரிசோதனையின் அளவையும் அப்படியே வைத்திருக்கிறேன். நமது இருமுனைக்கு இது என்ன செய்கிறது? சரி, இடது குழு: NumRef: Fig-Pinomheads காண்பிப்பது போல, இதன் முக்கிய விளைவு நீங்கள் எதிர்பார்ப்பது போல முழு விநியோகத்தையும் மாற்றுவதாகும். சரி, நாங்கள் ஒரு நாணயத்தை புரட்டினால் * n * = 100 முறை? சரி, அந்த விசயத்தில் சரியான குழுவில் காட்டப்பட்டுள்ளதைப் பெறுகிறோம். வழங்கல் தோராயமாக நடுவில் இருக்கும், ஆனால் சாத்தியமான விளைவுகளில் இன்னும் கொஞ்சம் மாறுபாடு உள்ளது.
Fig. 46 இரண்டு பைனோமியல் விநியோகங்கள், நான் ஒரு நியாயமான நாணயத்தை புரட்டுகிறேன், எனவே அடிப்படை செய் நிகழ்தகவு θ = 1/2 ஆகும். இடது பேனலில், நான் நாணயத்தை புரட்டுகிறேன் * n * = 20 முறை. வலது பேனலில், நாணயம் புரட்டப்பட்டுள்ளது என்று கருதுகிறோம் * n * = 100 முறை.