Section author: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

அடிப்படை நிகழ்தகவு கோட்பாடு

பேய்சியர்களுக்கும் அடிக்கடி நிகழும் நபர்களுக்கும் இடையிலான கருத்தியல் வாதங்கள் இருந்தபோதிலும், நிகழ்தகவுகள் கீழ்ப்படிய வேண்டும் என்ற விதிகளை மக்கள் பெரும்பாலும் ஒப்புக்கொள்கிறார்கள். இந்த விதிகளுக்கு வருவதற்கு பல்வேறு வழிகள் உள்ளன. மிகவும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் அணுகுமுறை 20 ஆம் நூற்றாண்டின் சிறந்த சோவியத் கணிதவியலாளர்களில் ஒருவரான ஆண்ட்ரி கோல்மோகோரோவின் வேலையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. நான் நிறைய விவரங்களுக்குச் செல்லமாட்டேன், ஆனால் அது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்கிறேன். அவ்வாறு செய்ய நான் எனது கால்சட்டை பற்றி பேச வேண்டியிருக்கும்.

நிகழ்தகவு விநியோகங்களை அறிமுகப்படுத்துகிறது

என் வாழ்க்கையைப் பற்றிய குழப்பமான உண்மைகளில் ஒன்று, நான் 5 இணை கால்சட்டை மட்டுமே வைத்திருக்கிறேன். மூன்று இணை சீன்ச், ஒரு சூட்டின் கீழ் பாதி, மற்றும் ஒரு இணை ட்ராக்சூட் பேன்ட். கூட சோகமாக, நான் அவர்களுக்கு பெயர்களைக் கொடுத்துள்ளேன்: நான் அவர்களை x *: துணை: `1` , *x *: துணை:` 2` , *x *: துணை: `3` , * X: துணை: 4 மற்றும்*x*: துணை:` 5` . எனக்கு உண்மையிலேயே இருக்கிறது, அதனால்தான் அவர்கள் என்னை மிச்டர் கற்பனை என்று அழைக்கிறார்கள். இப்போது, எந்த நாளிலும், நான் அணிய வேண்டிய இணை கால்சட்டைகளில் ஒன்றை நான் எடுத்துக்கொள்கிறேன். இரண்டு இணை கால்சட்டை அணிய முயற்சிக்கும் அளவுக்கு நான் முட்டாள்தனமாக இல்லை, பல வருட பயிற்சிக்கு நன்றி நான் இனி கால்சட்டை அணியாமல் வெளியே செல்லமாட்டேன். நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் மொழியைப் பயன்படுத்தி இந்த சூழ்நிலையை நான் விவரித்தால், ஒவ்வொரு இணை கால்சட்டைகளையும் (அதாவது ஒவ்வொன்றும்*x*) ஒரு ** தொடக்க நிகழ்வு ** என்று குறிப்பிடுவேன். அடிப்படை நிகழ்வுகளின் முக்கிய பண்பு என்னவென்றால், ஒவ்வொரு முறையும் நாம் ஒரு அவதானிப்பைச் செய்யும்போது (எ.கா., ஒவ்வொரு முறையும் நான் ஒரு இணை கால்சட்டைகளை அணிந்துகொள்கிறேன்) பின்னர் விளைவு இந்த நிகழ்வுகளில் ஒன்றாக இருக்கும். நான் சொன்னது போல், இந்த நாட்களில் நான் எப்போதும் ஒரு இணை கால்சட்டை அணிவேன், எனவே எனது கால்சட்டை இந்த தடையை நிறைவு செய்கிறது. இதேபோல், சாத்தியமான அனைத்து நிகழ்வுகளின் தொகுப்பும் ** மாதிரி இடம் ** என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிலர் இதை ஒரு “அலமாரி” என்று அழைப்பார்கள் என்பது உண்மைதான், ஆனால் அவர்கள் எனது கால்சட்டைகளைப் பற்றி நிகழ்தகவு அடிப்படையில் சிந்திக்க மறுப்பதால் தான். சோகம்.

சரி, இப்போது எங்களிடம் ஒரு மாதிரி இடம் (ஒரு அலமாரி) உள்ளது, இது சாத்தியமான அடிப்படை நிகழ்வுகளிலிருந்து (கால்சட்டை) கட்டப்பட்டுள்ளது, நாம் செய்ய விரும்புவது இந்த அடிப்படை நிகழ்வுகளில் ஒன்றின் ** நிகழ்தகவு ** ஐ ஒதுக்குவதாகும். *X *ஒரு நிகழ்வுக்கு, அந்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு *p *(x) என்பது 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு எண். *P *(x) இன் மதிப்பு பெரியது, நிகழ்வு ஏற்பட வாய்ப்புள்ளது . எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, *p *(x) = 0 என்றால் *x *நிகழ்வு சாத்தியமற்றது என்று பொருள் (அதாவது, நான் ஒருபோதும் அந்த கால்சட்டை அணிய மாட்டேன்). மறுபுறம், *p *(x) = 1 என்றால், நிகழ்வு *x *நிகழும் என்பது உறுதி (அதாவது, நான் எப்போதும் அந்த கால்சட்டை அணிவேன்). நடுவில் நிகழ்தகவு மதிப்புகளுக்கு நான் சில நேரங்களில் அந்த கால்சட்டை அணிவேன் என்று பொருள். உதாரணமாக, *p *(x) = 0.5 என்றால், அந்த கால்சட்டைகளை நான் பாதி நேரத்தை அணிவேன் என்று பொருள்.

இந்த கட்டத்தில், நாங்கள் கிட்டத்தட்ட முடித்துவிட்டோம். நாம் அடையாளம் காண வேண்டிய கடைசி சேதி என்னவென்றால், “ஏதோ எப்போதும் நடக்கும்”. ஒவ்வொரு முறையும் நான் கால்சட்டை அணியும்போது, நான் கால்சட்டை அணிந்து முடிக்கிறேன் (பைத்தியம், சரி?). இந்த சற்றே சாதாரண அறிக்கை என்னவென்றால், நிகழ்தகவு அடிப்படையில், தொடக்க நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் 1 வரை சேர்க்க வேண்டும். இது மொத்த நிகழ்தகவு ** ** சட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, ஆனால் நம்மில் எவரும் உண்மையில் அக்கறை காட்டவில்லை. மிக முக்கியமாக, இந்த தேவைகள் நிறைவு செய்யப்பட்டால், நம்மிடம் இருப்பது ** நிகழ்தகவு வழங்கல் **. எடுத்துக்காட்டாக, இது நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் எடுத்துக்காட்டு:

எந்த கால்சட்டை?	சிட்டை	நிகழ்தகவு
நீல சீன்ச்	X1	P(X1) = 0.5
சாம்பல் சீன்ச்	X2	P(X2) = 0.3
கருப்பு சீன்ச்	X3	P(X3) = 0.1
கருப்பு வழக்கு	X4	P(X4) = 0
நீல ட்ராக் சூட்	X5	P(X5) = 0.1

ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருக்கும் நிகழ்தகவு உள்ளது, மேலும் அனைத்து நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவையும் நாங்கள் சேர்த்தால் அவை 1. அருமை. இந்த விநியோகத்தை காட்சிப்படுத்த, இங்கில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு நல்ல பார் வரைபடத்தை கூட நாம் வரையலாம் (பார்க்க: doc: ../ ch05/ch05_graphics_3): numref:` fig-pantsdistribution`. மேலும், இந்த கட்டத்தில், நாம் அனைவரும் எதையாவது சாதித்துள்ளோம். நிகழ்தகவு வழங்கல் என்ன என்பதை நீங்கள் கற்றுக்கொண்டீர்கள், இறுதியாக எனது கால்சட்டைகளை முழுமையாக மையமாகக் கொண்ட ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க ஒரு வழியைக் கண்டுபிடிக்க முடிந்தது. எல்லோரும் வெற்றி!

Fig. 44 “கால்சட்டை” நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் காட்சி சித்தரிப்பு. எனக்கு சொந்தமான ஐந்து இணை கால்சட்டைக்கு ஒத்த ஐந்து “அடிப்படை நிகழ்வுகள்” உள்ளன. ஒவ்வொரு நிகழ்விலும் நிகழும் சில நிகழ்தகவு உள்ளது: இந்த நிகழ்தகவு 0 முதல் 1 வரை ஒரு எண். இந்த நிகழ்தகவுகளின் தொகை 1 ஆகும்.

நான் சுட்டிக்காட்ட வேண்டிய ஒரே சேதி என்னவென்றால், நிகழ்தகவு கோட்பாடு ** அடிப்படை அல்லாத நிகழ்வுகள் ** மற்றும் அடிப்படை விசயங்களைப் பற்றி பேச உங்களை அனுமதிக்கிறது. கருத்தை விளக்குவதற்கான எளிதான வழி ஒரு எடுத்துக்காட்டு. கால்சட்டை எடுத்துக்காட்டில், நான் சீன்ச் அணியும் நிகழ்தகவைக் குறிப்பிடுவது முற்றிலும் முறையானது. இந்த சூழ்நிலையில், “டானி அணிந்துகொள்கிறார் சீன்ச்” நிகழ்வு உண்மையில் நிகழ்ந்த தொடக்க நிகழ்வு பொருத்தமான ஒன்றாகும் வரை நடந்திருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் “ப்ளூ சீன்ச்”, “பிளாக் சீன்ச்” அல்லது “கிரே சீன்ச்”. கணித சொற்களில், அடிப்படை நிகழ்வுகளின் தொகுப்போடு (x : துணை: 1 , ஃச் : துணை:` 2` , ஃச் : துணை: 3 ) `. இந்த அடிப்படை நிகழ்வுகள் ஏதேனும் ஏற்பட்டால், * இ * கூட நிகழ்ந்ததாகக் கூறப்படுகிறது. *E *இன் வரையறையை இந்த வழியில் எழுத முடிவு செய்த பின்னர், *p *(e) நிகழ்தகவு என்ன என்பதைக் குறிப்பிடுவது மிகவும் நேரடியானது: நாங்கள் எல்லாவற்றையும் சேர்க்கிறோம். இந்த குறிப்பிட்ட விசயத்தில்

P(E) = P(X₁) + P(X₂) + P(X₃)

மேலும், முறையே நீலம், சாம்பல் மற்றும் கருப்பு சீன்ச் நிகழ்தகவுகள் 0.5, 0.3 மற்றும் 0.1 என்பதால், நான் சீன்ச் அணிய நிகழ்தகவு 0.9 க்கு சமம்.

இந்த கட்டத்தில் இது எல்லாம் மிகவும் வெளிப்படையானது மற்றும் எளிமையானது என்று நீங்கள் நினைத்துக் கொண்டிருக்கலாம், நீங்கள் சொல்வது சரிதான். நாங்கள் உண்மையிலேயே செய்ததெல்லாம் சில அடிப்படை கணிதங்களை சில பொது அறிவு உள்ளுணர்வுகளைச் சுற்றி போடுவதுதான். இருப்பினும், இந்த எளிய தொடக்கங்களிலிருந்து சில மிகவும் சக்திவாய்ந்த கணித கருவிகளை உருவாக்க முடியும். நான் நிச்சயமாக இந்த புத்தகத்தில் உள்ள விவரங்களுக்குச் செல்லப் போவதில்லை, ஆனால் நான் என்ன செய்வேன் என்பது பட்டியல், இல்: numref: TAB-Probrules, நிகழ்தகவுகள் நிறைவு செய்யும் வேறு சில விதிகள். இந்த விதிகள் நான் மேலே கோடிட்டுக் காட்டிய எளிய அனுமானங்களிலிருந்து பெறப்படலாம், ஆனால் இந்த புத்தகத்தில் உள்ள எதற்கும் இந்த விதிகளை நாங்கள் உண்மையில் பயன்படுத்தாததால் நான் இங்கே அவ்வாறு செய்ய மாட்டேன்.

Table 6 நிகழ்தகவுகள் நிறைவு செய்ய வேண்டிய சில அடிப்படை விதிகள். புத்தகத்தில் நாங்கள் பின்னர் பேசும் பகுப்பாய்வுகளைப் புரிந்துகொள்ள இந்த விதிகளை நீங்கள் உண்மையில் தெரிந்து கொள்ளத் தேவையில்லை, ஆனால் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டை இன்னும் கொஞ்சம் ஆழமாக புரிந்து கொள்ள விரும்பினால் அவை முதன்மை.

ஆங்கிலம்	குறியீடு		தேற்றம்
இல்லை *அ *	P(¬ A)	=	1 - P(A)
A*அல்லது*b	P(A ∪ B)	=	P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
A*மற்றும்*b	P(A ∩ B)	=	P(A|B) P(B)