Section author: Danielle J. Navarro and David R. Foxcroft

நிலையான மதிப்பெண்கள்

எனது நண்பர் “எரிச்சலை” அளவிட விரும்பும் ஒரு புதிய கேள்வித்தாளை ஒன்றிணைக்கிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம். கணக்கெடுப்பில் 50 கேள்விகள் உள்ளன, அவை எரிச்சலான வழியில் பதிலளிக்கலாம் அல்லது இல்லை. ஒரு பெரிய மாதிரியில் (அனுமானமாக, ஒரு மில்லியன் மக்களை கற்பனை செய்வோம்!) தரவு மிகவும் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது, சராசரி எரிச்சலூட்டும் மதிப்பெண் 50 கேள்விகளில் 17 எரிச்சலான முறையில் பதிலளிக்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும் நிலையான விலகல் 5. இதற்கு மாறாக,,, நான் கேள்வித்தாளை எடுக்கும்போது 50 கேள்விகளில் 35 க்கு எரிச்சலான வழியில் பதிலளிக்கிறேன். எனவே, நான் எவ்வளவு எரிச்சலானவன்? இதைப் பற்றி சிந்திக்க ஒரு வழி, எனக்கு 35/50 எரிச்சல் இருக்கிறது என்று சொல்வதுதான், எனவே நான் 70 % எரிச்சலானவன் என்று நீங்கள் கூறலாம். ஆனால் நீங்கள் அதைப் பற்றி நினைக்கும் போது இது சற்று வித்தியாசமானது. எனது நண்பர் தனது கேள்விகளை சற்று வித்தியாசமாக வடிவமைத்திருந்தால், மக்கள் வேறு வழியில் பதிலளித்திருக்கலாம், எனவே கேள்விகள் கேட்கப்பட்ட துல்லியமான வழியைப் பொறுத்து பதில்களின் ஒட்டுமொத்த வழங்கல் எளிதாக மேலே அல்லது கீழ்நோக்கி நகரும். எனவே, இந்த கணக்கெடுப்பு கேள்விகளைப் பொறுத்தவரை நான் 70 % எரிச்சலான *மட்டுமே *. இது ஒரு நல்ல கேள்வித்தாளாக இருந்தாலும் இது ஒரு செய்தி அறிக்கை அல்ல.

இதைச் சுற்றியுள்ள ஒரு எளிய வழி, என்னை மற்றவர்களுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் என் எரிச்சலை விவரிப்பதாகும். அதிர்ச்சியூட்டும் விதமாக, எனது நண்பரின் 1,000,000 மக்களின் மாதிரியில், 159 பேர் மட்டுமே என்னைப் போலவே எரிச்சலடைந்தனர் (அது நம்பத்தகாதது அல்ல, வெளிப்படையாக இல்லை) நான் 0.016 % மக்கள் எரிச்சலுக்காக முதல் இடத்தில் இருக்கிறேன் என்று பரிந்துரைக்கிறேன். மூல தரவை விளக்க முயற்சிப்பதை விட இது மிகவும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது. மனிதர்களின் எரிச்சலின் ஒட்டுமொத்த விநியோகத்தின் அடிப்படையில் எனது எரிச்சலை நாம் விவரிக்க வேண்டும் என்ற இந்த சிந்தனை, தரப்படுத்தல் பெற முயற்சிக்கும் தரமான சிந்தனை. இதைச் செய்வதற்கான ஒரு வழி என்னவென்றால், நான் செய்ததைச் சரியாகச் செய்து எல்லாவற்றையும் சதவிகிதத்தின் அடிப்படையில் விவரிப்பது. இருப்பினும், இதைச் செய்வதில் உள்ள சிக்கல் என்னவென்றால், “இது தனிமையானது”. எனது நண்பர் 1000 பேரின் மாதிரியை மட்டுமே சேகரித்திருந்தார் என்று வைத்துக்கொள்வோம் (ஒரு புதிய கேள்வித்தாளை சோதிக்கும் நோக்கங்களுக்காக இன்னும் ஒரு பெரிய மாதிரி, நான் சேர்க்க விரும்புகிறேன்), இந்த முறை 50 இல் 16 சராசரி சராசரி என்று சொல்லலாம் 5 இன் நிலையான விலகலுடன். சிக்கல் என்னவென்றால், நிச்சயமாக அந்த மாதிரியில் ஒரு நபர் கூட என்னைப் போலவே எரிச்சலடைய மாட்டார்.

இருப்பினும், அனைத்தும் இழக்கப்படவில்லை. எனது எரிச்சலூட்டும் மதிப்பெண்ணை ** நிலையான மதிப்பெண் ** ஆக மாற்றுவதே வேறுபட்ட அணுகுமுறை, இது*z*-ச்கோர் என்றும் குறிப்பிடப்படுகிறது. நிலையான மதிப்பெண் எனது எரிச்சல் மதிப்பெண் உள்ளது என்ற சராசரிக்கு மேலே உள்ள நிலையான விலகல்களின் எண்ணிக்கையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. “போலி-கணிதங்கள்” இல் இதை சொற்றொடருக்கு நிலையான மதிப்பெண் இதுபோன்று கணக்கிடப்படுகிறது:

\[\ mbox {standard score} = \ frac {\ mbox {raw score} - \ mbox {mean}} {\ mbox {standard deviation}}\]

உண்மையான கணிதத்தில், *z *-score க்கான சமன்பாடு

\[z_i = \frac{X_i - \bar{X}}{\hat\sigma}\]

எனவே, எரிச்சலூட்டும் தரவுக்குச் செல்லும்போது, இப்போது டானியின் மூல எரிச்சலை ஒரு தரப்படுத்தப்பட்ட எரிச்சலூட்டும் மதிப்பெண்ணாக மாற்றலாம்.

\[z = \frac{35 - 17}{5} = 3.6\]

இந்த மதிப்பை விளக்குவதற்கு, பிரிவில் நான் வழங்கிய தோராயமான ஊரிச்டிக் நினைவுகூருங்கள்: குறிப்பு: நிலையான விலகல் <tantert_deviation> இதில் 99.7 % மதிப்புகள் சராசரியின் 3 நிலையான விலகல்களுக்குள் இருக்கும் என்று நான் குறிப்பிட்டேன். எனவே எனது எரிச்சல் ஒரு * சட் * மதிப்பெண் 3.6 க்கு ஒத்திருக்கிறது என்பது நான் உண்மையில் மிகவும் எரிச்சலூட்டுகிறேன் என்பதைக் குறிக்கிறது. உண்மையில் இது 99.98 % மக்களை விட நான் எரிச்சலூட்டுகிறேன் என்று இது அறிவுறுத்துகிறது. சரியானது.

ஒரு பெரிய மக்கள் தொகை தொடர்பாக ஒரு மூல மதிப்பெண்ணை விளக்குவதற்கு உங்களை அனுமதிப்பதோடு மட்டுமல்லாமல் (அதன் மூலம் தன்னிச்சையான அளவீடுகளில் இருக்கும் மாறிகளை உணர உங்களை அனுமதிக்கிறது), நிலையான மதிப்பெண்கள் இரண்டாவது பயனுள்ள செயல்பாட்டிற்கு உதவுகின்றன. மூல மதிப்பெண்கள் செய்ய முடியாத சூழ்நிலைகளில் நிலையான மதிப்பெண்களை ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிடலாம். உதாரணமாக, எனது நண்பருக்கு 24 உருப்படி கேள்வித்தாளைப் பயன்படுத்தி புறம்போக்கு அளவிடப்பட்ட மற்றொரு கேள்வித்தாளும் இருந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த நடவடிக்கைக்கான ஒட்டுமொத்த சராசரி நிலையான விலகல் 4 உடன் 13 ஆக மாறிவிடும், நான் ஒரு மதிப்பெண் பெற்றேன். நீங்கள் நினைத்துப் பார்க்கிறபடி, எனது மூல மதிப்பெண் 2 ஐ புறம்போக்கு கேள்வித்தாளில் ஒப்பிட்டுப் பார்க்க முயற்சிக்கவில்லை எரிச்சலூட்டும் கேள்வித்தாளில் எனது மூல மதிப்பெண் 35. இரண்டு மாறிகளுக்கான மூல மதிப்பெண்கள் அடிப்படையில் வேறுபட்ட விசயங்களில் “பற்றி” உள்ளன, எனவே இது ஆப்பிள்களை ஆரஞ்சுடன் ஒப்பிடுவது போலாகும்.

நிலையான மதிப்பெண்களைப் பற்றி என்ன? சரி, இது கொஞ்சம் வித்தியாசமானது. நிலையான மதிப்பெண்களைக் கணக்கிட்டால், நாம் * சட் * = (35 - 17) / 5 = 3.6 எரிச்சலூட்டுவதற்கு மற்றும் * சட் * = (2 - 13) / 4 = -2.75 புறம்போக்கு. இந்த இரண்டு எண்களையும்* ஒருவருக்கொருவர் ஒப்பிடலாம். [#] _ நான் பெரும்பாலான மக்களை விட (* z* = -2.75) மிகவும் குறைவாகவும், பெரும்பாலான மக்களை விட (* z* = 3.6) மிகவும் எரிச்சலுடனும் இருக்கிறேன். ஆனால் எனது அசாதாரணத்தின் அளவு எரிச்சலுக்கு மிகவும் தீவிரமானது, ஏனெனில் 3.6 2.75 ஐ விட பெரிய எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு தரப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பெண்ணும் அதன் சொந்த மக்கள்தொகையுடன் ஒப்பிடும்போது ஒரு அவதானிப்பு *எங்கு விழுகிறது என்பது பற்றிய ஒரு அறிக்கையாக இருப்பதால், தரப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பெண்களை முற்றிலும் மாறுபட்ட மாறிகள் முழுவதும் ஒப்பிட முடியும்.